Eco matemático ISSN: 1794-8231 (Impreso), E-ISSN: 2462-8794 (En línea) páginas 7-14
Volumen 9 (1)
Enero - Junio de 2018
https://doi.org/10.22463/17948231.1595

El concepto de Rectángulo Equivalente para la caracterización de la forma de una cuenca


The concept of Equivalent Rectangle for the characterization of the shape of a basin

Alejandra Cañibanoa* , Marcelo Gandinib

Resumen

En este trabajo se rescata la importancia de la enseñanza de la geometría como modeladora del espacio en el que estamos inmersos, para lo cual se presenta la resolución de un problema relacionado con cierto tipo de disciplinas como la cartografía, la geografía, la hidrología a través de la caracterización de la forma de una cuenca hidrográfica. Para ello se hace uso del concepto de rectángulo equivalente. Es importante aclarar que en el desarrollo de este trabajo, se presentan dos variables asociadas a la morfometría: el área y el perímetro las cuales también permiten describir la forma de una cuenca y los efectos asociados a la misma. A su vez se el trabajo también incluye el desarrollo de las funciones cuadráticas para su resolución.

Palabras clave: Aplicaciones , Área, Función Cuadrática, Geometría, Perímetro.

Abstract

In this work the importance of the teaching of geometry as a modeler of the space in which people are immersed is rescued. For this, is showed the resolution of a problem related to a certain types of disciplines such as cartography, geography, and hydrology, through of the characterization of the shape of a river basin. The concept of an equivalent rectangle is used at this point. Two variables associated with morphometry are presented: the area and the perimeter which also allow describing the shape of a basin and the effects associated with it. At the same time, the work also includes the development of quadratic functions for its resolution.

Keywords: Applications, Area, Quadratic Function, Geometry, Perimeter.


1. Introducción

La Geometría es una de las partes de las matemáticas más próxima a la realidad que nos rodea, y es por ello que su enseñanza es imprescindible, sobre todo en las primeras etapas educativas. A pesar de vivir en un mundo tridimensional, la mayor parte de las experiencias matemáticas que se proporcionan a los estudiantes son bidimensionales, incluso al trabajar sobre una pizarra se pretende modelizar lo tridimensional en un plano.

Desde mediados del siglo XX la Geometría ha generado cierta preocupación entre los educadores matemáticos dado que se duda de la importancia que tiene la misma dentro de los diseños curriculares. A nivel internacional la comunidad matemática coincide en que a la Geometría se la debiera valorar desde el nivel escolar inicial porque se ha detectado que esta situación de desconocimiento se refleja, tanto en encuestas nacionales como internacionales que evalúan conocimientos geométricos (Mammama y Villani, 1998).

Matemáticamente, la visualización como percepción supone tomar la información que deriva de figuras geométricas para poder interpretarlas, comprenderlas y adquirir la habilidad de poder contextualizarlas y trasladar las relaciones abstractas y la información no figurativa en términos visuales (Marmolejo Avenia y Vega Restrepo, 2012). Es así que la visualización se constituye en un nicho de enorme potencial para devolver el lugar que le corresponde a la Geometría en la enseñanza escolar en todos los niveles educativos.

El modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele da cuenta de cómo evoluciona el razonamiento geométrico de los estudiantes, lo divide en cinco niveles ordenados: la visualización, el análisis, la deducción informal, la deducción formal y el rigor, que se repiten con cada nuevo aprendizaje; el estudiante conforme cumple con un proceso determinado avanza al siguiente nivel. El modelo de Van Hiele también indica la manera de incentivar a los estudiantes a optimizar la manera de razonar porque provee criterios para organizar el programa educativo y de esa forma ayudar al estudiante a completar un grado educativo (Vargas y Gamboa, 2013).

Promover la enseñanza de la visualización a través del análisis de regiones poligonales, entendiendo como tal regiones encerradas por un polígono, se constituye en el nexo para asociar éste con las figuras geométricas y por ende con el aprendizaje de la geometría. En este sentido el área de regiones poligonales se constituye en una entrada a la enseñanza de la Geometría.

Para Marmolejo Avenia y Vega Restrepo (2012), no basta con la distinción de los cálculos que se realizarán sobre una figura y las modificaciones que se generarán en ella para describir lo que se visualiza, asociado a las figuras en el plano y que deriva en el desarrollo y discernimiento de tareas aplicadas a superficie de regiones poligonales, sino que se vuelve importante considerar los cambios en la forma de ver en las regiones que han de medirse, centrando la atención en unidades visuales planas. Es decir, pasar de centrar la atención en las características generales de la figura inicial a hacerlo en sus partes planas particulares.

Los alumnos no adquieran la competencia de visualizar de manera automática y para lograr esta destreza es necesario diseñar actividades que habiliten este desarrollo. Entre los muchos contenidos que favorecen la obtención de esta práctica cognitiva, se destaca el área de regiones poligonales debido a que, para su estudio, se apela al uso de figuras que enfrentan al estudiante con tareas en las que se requiere su uso. En este trabajo se analizará la forma de una cuenca hidrográfica como región poligonal, analogándolo al concepto de rectángulo equivalente y a su vez considerando dos variables asociadas a la morfometría como el área y el perímetro. El objetivo de este trabajo es presentar contenidos teóricos básicos sobre cuencas hidrográficas, algunas de sus medidas de forma y algunas actividades relacionadas con el concepto desarrollado.

2. Materiales y métodos

La cuenca hidrográfica y los parámetros de su forma

Se define una cuenca hidrográfica o cuenca hídrica como un espacio físico determinado por patrones topográficos que facilitan demarcar territorialmente una superficie de drenaje corriente, en donde interrelacionan sistemas físicos, bióticos y socioeconómicos. Las cuencas hidrográficas cumplen varias funciones: ambientales, hidrológicas, ecológicas, socioeconómicas entre muchas.

Cada cuenca se halla separada de otras cuencas por una línea divisoria de las aguas y es esta línea la que marca el contorno de la cuenca respecto a un punto del cauce principal. Este contorno se traza en un plano con curvas de nivel.

A las cuencas suele clasificárselas en endorreicas, exorreicas y arreicas. En las cuencas endorreicas el agua nunca llega al mar quedando estancada en lagos o lagunas, en cambio la exorreicas sí, drenan sus aguas al mar o a los océanos y, finalmente, las cuencas arreicas no llegan a desaguar en ningún lado y casi siempre el líquido es evaporado. Entre las partes que forman una cuenca se suele hablar de “cuenca alta” que corresponde a la zona donde comienza a desarrollarse el escurrimiento de agua en ríos o arroyos, la cual se desplaza a través de terreno en pendiente; la cuenca media es la parte de la cuenca donde se observa estabilidad, no suele haber erosión y se registra cierto equilibrio entre el material sólido que llega y el que fluye y finalmente la cuenca baja donde todo el material que llega desde lo alto queda depositado por disminución de la energía potencial.

Es interesante agregar que todas las cuencas pueden generar cantidades de afluentes que terminan en el curso de agua principal. Los encargados de modelar la fisiografía de cierta región son principalmente los factores geológicos. Estos factores particularmente también están relacionados a la forma de las cuencas hidrográficas. Para brindar una explicación cuantitativa de la forma de una cuenca, se compara la misma con figuras planas conocidas como el círculo, óvalo, cuadrado y rectángulo.

Suele denominárselos parámetros de forma y son utilizados en hidrología para el análisis de las formas de las cuenca, por lo que se hace uso de figuras planas conocidas que ponen de manifiesto la relación de la Matemática, y para este caso la Geometría, con la realidad que nos circunda (Cañibano, Sastre Vázquez y D´Andrea, 2016).

Finalmente, analizar la forma de una cuenca es importante porque la misma incide en la respuesta que ésta presenta ante las precipitaciones, en el tiempo que toma el agua precipitada en desplazarse entre los límites más extremos de la cuenca y el punto de salida de la misma, etc.

Algunos parámetros tratan de cuantificar las características morfológicas por medio de índices o coeficientes como son el Factor de forma de Horton, la Razón Circular de Miller, el Coeficiente de compacidad de Gravelius y el Índice de Alargamiento. También suele compararse la forma de una cuenca con un rectángulo llamado rectángulo equivalente.

Rectángulo equivalente

El rectángulo equivalente es una transformación geométrica que permite representar una cuenca con la forma de un rectángulo (Villón, 2004). Siguiendo al autor el rectángulo debe tener la misma área y perímetro que la cuenca. Esta cuenca teórica, al tener la misma área y perímetro también comparte el Índice de Gravelius, igual distribución de alturas que se traduce en igual curva hispométrica e igual distribución en el terreno en cuanto a su cobertura.

Las curvas de nivel se equiparan a rectas paralelas al lado menor del rectángulo (Figura 1), siendo A el área, L el lado mayor y l el lado menor del polígono. (Figura 1)


Para calcular el lado mayor (L) y el lado menor (l) del rectángulo se parte del área, perímetro del rectángulo y del Coeficiente de Compacidad de Gravelius (KC). El Coeficiente de Gravelius indica que con un índice mayor o igual a la unidad la cuenca tenderá a una forma redondeada y su expresión matemática es: (Ver expresión matemática)



3. Resultados y discusiones

Aplicación práctica

Suponemos una cuenca de forma desconocida que pretendemos modelar mediante un rectángulo equivalente. Para ello se debe trabajar con una cuenca localizada dentro de una carta topográfica o de un mapa que contenga curvas de nivel.

Para esta aplicación suponemos curvas de nivel cada 100 metros, también suponemos un perímetro (P) de 140 km, el área (A) de 600 km2 y un Índice de Compacidad (KC) de 1,60.

Entre dos curvas de nivel consecutivas quedan determinadas sub áreas (Ai) que pueden ser calculadas por distintos métodos (Figura 2). Estos métodos van desde el cálculo mediante el empleo de un planímetro hasta cálculos mediante métodos gráficos de comparación con la magnitud real.

Análogamente se cuenta con métodos geométricos que utilizan expresiones matemáticas simples para el cálculo de superficies de figuras geométricas regulares como triángulos,cuadriláteros o áreas limitadas por curvas irregulares (Cañibano et al, 2016). (Figura 2)


En el siguiente cuadro se presentan resultados hipotéticos (Tabla 1)


A continuación, teniendo como datos perímetro, área y coeficiente de compacidad se procede a calcular los lados del rectángulo equivalente, L y l. (Tabla 2).



Con estos datos dibujamos el rectángulo equivalente (Figura 3):


Ejemplo

Con el objetivo de aplicar el concepto eje que se desarrolla en el trabajo se presenta el ejemplo de la Cuenca Alta de Río Lerma (CARL), en el estado de México, como caso de estudio, caracterizada por Díaz Delgado, Mamadou Bâ, Iturbe Posadas, Esteller y Reyna Sáenz (1999). El río Lerma es un río de México, con una longitud de 708 km. La cuenca correspondiente al Río Lerma es de 47.116 km²47.116 km². Se origina en el estado de México y desagua en el lago de Chapala (Jalisco). Sus coordenadas geográficas son 20º 13´00” N, 102º 46´00” O (Figura 4).


En la Figura 5 se muestra una delimitación manual y automática de la región bajo estudio extraída de cartas topográficas a escala 1:50000. (Figura 5).


Del trabajo citado resultaron los siguientes datos:
*Perímetro: 239,50 km medidos planimétricamente.
*Área: 2117,88 km2
*KC: 1,481
En la Figura 6 se presenta una perspectiva sombreada del relieve en el área de la CARL con la escala citada anteriormente. (Figura 6).


Cálculos posteriores, cuando se analiza el rectángulo equivalente, indican: L= 99,57 km
l = 21,27 km
El rectángulo equivalente se presenta en (Figura 7).


4. Conclusiones

Para Marmolejo Avenia y Vega Restrepo (2012), el aprendizaje de la Geometría es posible, necesariamente haciendo uso y proponiendo actividades de visualización, deducción, construcción y justificación, cada una con sus funciones epistemológicas particulares. El docente debe procurar desarrollar habilidades en sus alumnos, de manera que puedan manifestarse en el aprendizaje de estas actividades.

El pensamiento espacial es una parte sustancial del pensamiento matemático, es el conjunto de los procedimientos mediante los cuales se estimulan y construyen las representaciones mentales de los objetos, las relaciones que se establecenentre dichos objeto y sus transformaciones.

Para poder desarrollarlo se requiere de docentes que deseen el aprendizaje de sus alumnos, que ofrezcan situaciones adecuadas, con aplicación de materiales concretos provenientes del entorno que nos rodea para estimular el interés, la creatividad, la complacencia y el placer por la instrucción. De esta manera toma relevancia la evaluación de nuevas estrategias para la enseñanza de la geometría, además de la planificación y ejecución, que conducen a los estudiantes a un aprendizaje continuo, contextualizado y representativo (Cañibano, et al, 2016).

Se vuelve una buena intención que tanto creencias como concepciones de los docentes acerca de la geometría, vayan virando hacia teorías más cercanas al pensamiento constructivista, logrando de esa manera un cambio vivencial significativo en su conocimiento y metodología sobre la enseñanza-aprendizaje de una rama de la matemática tan interesante como la geometría (Barrantes y Blanco, 2004).


5. Referencias

Barrantes, M. y Blanco, L. J. (2004). Recuerdos, expectativas y concepciones de los estudiantes para maestro sobre la Geometría escolar.

Enseñanza de las Ciencias, 22(2), 241-250 Cañibano A., Sastre Vázquez P., D´Andrea R. (2016). Área y perímetro para la caracterización de formas. Suma 83, 25-32.

Díaz Delgado, C., Mamadou Bâ, K., Iturbe Posadas, A., Esteller, M., Reyna Sáenz, F. (1999). Estimación de las características fisiográficas de una cuenca con la ayuda de SIG y MEDT: caso del curso alto del río Lerma, Estado de México. Ciencia Ergo Sum, 6 (2)

Marmolejo Avenia, G; Vega Restrepo, M. (2012) La visualización en las figuras geométricas. Importancia y complejidad de su aprendizaje. Educación Matemática, vol. 24, núm. 3, diciembre, 2012, 7-32 Grupo Santillana México Distrito Federal, México.

Mammama C., Villani, V. (1998). Perspectives on the teaching of geometry for the 21st Century. An ICMI Study).Kluwen. Dordrecht. Holanda. Bueno Soria J., Lopez Aguado J., Marquez Mayaudón C. (1981). Consideraciones preliminares sobre la ecología de los insectos acuáticos del río Lerma. Anales del Instituto de Ciencias del Mar y Limnología. UNAM, México, Vol 8 Nº 1, 175-181.

Vargas Vargas G., Gamboa Araya R. (2013). El modelo de Van Hiele y la enseñanza de la Geometría. UNICIENCIA. Vol 27 Nº 1, 74- 94.

Villón Bejar M. (2004). Hidrología. Editorial Tecnológica de Costa Rica.


a*Magister en investigación biológica aplicada, mac@faa.unicen.edu.ar,ORCID 0000-0002-5880-3821 Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires, Buenos Aires, Argentina.
*Autor para correspondencia mac@faa.unicen.edu.ar
b Doctor en Biología mmgandini@faa.unicen.edu.ar,ORCID 0000-0001-7218-971X, Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires, Buenos Aires, Argentina.


Recibido Julio de 2017 - Aceptado Diciembre de 2017
Forma de citar: Cañibano, A. & Gandini M. (2018). El concepto de Rectángulo Equivalente para la caracterización de la forma de una cuenca. Eco Matemático, 9(1), 7-14

2590-9215© 2017 Universidad Francisco de Paula Santander. Este es un artículo bajo la licencia CCBY