Eco matemático ISSN: 1794-8231 (Impreso), E-ISSN: 2462-8794 (En línea) páginas 15-22
Volumen 9 (1)
Enero - Junio de 2018
https://doi.org/10.22463/17948231.1640
¿Cómo promueven el cambio dimensional los libros de texto colombianos en relación con el área de regiones poligonales?
How do Colombian textbooks promote dimensional change in relation to the area of polygonal regions?
Gustavo Adolfo Marmolejo-Aveniaa*
Resumen
El cambio dimensional en la forma de ver las figuras bidimensionales es una operación básica para el desarrollo y comprensión de tareas matemáticas, pero, para los estudiantes su inclusión es compleja, incluso imposible de realizar- Por ello, su reflexión debe ser objeto de atención. El área de regiones poligonales y los libros de textos permiten comprender cómo tal operación puede ser promovida en el aula. La investigación analiza cómo los libros de texto de las tres editoriales de mayor uso en el sur-occidente colombiano presentan, en los primeros ciclos de la educación básica obligatoria, la inclusión de cambios dimensionales para calcular el área de regiones poligonales. Se analizaron 1281 tareas y se identificaron dos clases de cambios dimensionales: Fijo y Operatorio, siendo el primero el más considerado. La investigación evidencia que los libros proporcionan oportunidades limitadas para que el cambio dimensional sea aprehendido. Por ello los educadores deben diseñar tareas que complementen las expuestas por los libros, y para ello deben apropiarse de una teoría visual que les permita tomar las decisiones pertinentes.
Palabras clave: Área de regiones, poligonales, Cambio dimensional, Cognición, Educación básica, obligatoria, Libros de texto, Visualización.
AbstractThe dimensional change in the way of seeing on the two-dimensional figures is a basic operation for the development and understanding of mathematical tasks, but, for the students the incorporation of this operation is complex, even impossible to do. The study of the dimensional change must be an object of reflection. The area of polygonal regions and the textbooks allow us to understand how the dimensional change is promoted in the classroom. This research work analyzes how textbooks of the three main publishersin southwestern Colombian arouse, in the first cycles of compulsory basic education, the incorporation of dimensional changesto find the area of polygonal regions. An amount of 1281 tasks were analyzed. Two classes of dimensional changes were identified: Fixed and Operative, where the first dimensional change was the most considered. Research shows that textbooks propose limited opportunities for dimensional change to be apprehended. Educators must design tasks to complement the tasks exhibited by the books, consequently, so they must appropriate a visual theory that allows them to make the relevant decisions.
Keywords:Area of polygonal, regions, Dimensional change, Cognition, Compulsory basic, education, Textbooks, Visualization.
1. Introducción
La principal función que cumple la visualización en matemáticas es generar ideas o plantear maneras de proceder que apoyen o guíen la comprensión (Marmolejo y González, 2013), pero, la mayoría de los estudiantes no le consideran efectiva y asertivamente, para ellos su inclusión está lejos de ser obvia e inmediata (Inan y Dogan-Temur, 2010; Marmolejo y Vega, 2012). Por tal motivo, el desarrollo de habilidades visuales (desarrollo visual) debe ser objeto de reflexión explícito en la enseñanza de las matemáticas. Investigaciones como las realizadas por Duval (1998, 2003, 2004, 2011, 2017) sugieren que el desarrollo visual debe tenerse en cuenta desde los primeros grados de la educación básica y que la visualización adquiere características y funciones distintas según las representaciones semióticas1 en consideración.
Las figuras geométricas bidimensionales (figuras) son el tipo de representación semiótico de interés en la investigación. En este sentido, se asume la visualización como la discriminación de relaciones entre las unidades constituyentes de las figuras, y, siguiendo los parámetros de Duval (1998, 2017), se contempla que se debe promover la visualización independiente al desarrollo de otras actividades cognitivas, como el razonamiento y la construcción. Asimismo, se debe considerar la aplicación de tareas que, separada y diferenciadamente, permitan dos tipos de discriminación visual de naturaleza distinta: aprehensión discursiva y aprehensión operatoria, y sólo una vez propiciado lo anterior, la articulación entre estos dos tipos de discriminación debe constituir un objeto de atención.
El interés del presente trabajo recae en el desarrollo visual asociado a la aprehensión discursiva. Puntualmente, se contempla la operación de cambio dimensional (Duval, 2004), es decir, cómo estos materiales didácticos plantean el acto de descomponer una figura (dimensión 2) en unidades figurales de dimensión inferior a la de la figura (dimensiones 0 y 1). En este orden de ideas, se asume que una figura representa una situación geométrica sólo en la medida en que la significación de ciertas unidades figurales y de algunas de sus relaciones, estén explícitamente fijadas inicialmente (Duval, 2017). Pero, las figuras imponen, según la primera de las leyes gestálticas de organización y reconocimiento perceptivo de las formas, una prioridad en la discriminación de unidades bidimensionales sobre las unidades de 1o 0 dimensión. Es decir, que sobre una figura se reconoce, en primera instancia, una forma de esa misma dimensión (triángulos, cuadrados, pentágonos, etc.), y sólo, en segundo lugar, se pasa a discriminar, entre otros, tanto sus lados, diagonales, alturas, medianas y bisectrices, como los vértices y los puntos notables (circuncentro, baricentro, ortocentro, incentro, etc.).
En palabras de Duval (2004), lo anterior obliga a quien busca discriminar información sobre una figura aplicar un cambio dimensional en su forma de ver la figura. Esto resulta complejo para la mayoría de los estudiantes, incluso, para aquellos que sí logran considerarla, los elementos de 1 y 0 dimensión de las figuras tienden a percibirse como bordes no separables de sus superficies, lo que repercute negativamente en cuanto a las exigencias visuales que requieren las matemáticas.
La enseñanza de las matemáticas requiere, pues, espacios de reflexión que promuevan la aplicación de procesos de deconstrucción dimensional sobre las figuras (Duval, 2004). La deconstrucción dimensional no se puede efectuar en el marco de actividades manuales, como sí es posible en el caso de las operaciones y de los cambios figurales donde la manipulación implica la conservación del número de dimensiones del soporte material utilizado. Además, el número de dimensiones no se puede mostrar, solamente nombrar, por tanto, sólo aquellos estudiantes que tienen conciencia de lo que designan, serán capaces de darse cuenta a qué se está haciendo referencia (Duval, 2004).
La consideración de los elementos de 0 y 1 dimensión de una figura fuera de su marco de referencia, requiere prolongar la recta soporte de los segmentos, reorganizar una figura dada, discriminar en una figura, otra u otras configuraciones, etc. Esto permite a un sujeto aprender a focalizar la atención en tales unidades y, durante ese proceso, asumirlas como elementos dinámicos y susceptibles de transformación. Solo de esta manera es posible considerarlos de manera independiente de la superficie que delimitan (Duval, 2004).
El propósito de este estudio es determinar cómo los libros de texto colombianos (libros), en los temas relativos al área de regiones poligonales (área), propician el cambio dimensional en la forma de ver las figuras, es decir, cómo estos materiales didácticos ayudan a descomponer una figura (dimensión 2) en unidades figurales de dimensión inferior a la de la figura (dimensiones 0 y 1). En este orden de ideas, se asumen como cuestiones que guían la consecución del propósito mencionado las siguientes: ¿los libros propician el cambio dimensional en las tareas que proponen?, si es así, ¿los cambios dimensionales propiciados son de naturaleza distinta? ¿Todos propician el desarrollo visual? ¿En qué ciclos de la educación básica se dan mayores oportunidades para que los estudiantes aprendan a realizar cambios dimensionales que les permita utilizar otras formas de ver sobre las figuras?
La elección del concepto de área y de los libros de texto como herramientas de estudio en la investigación, se relaciona, por un lado, con que el tratamiento del área se da, explícita o implícitamente, a través de los primeros ciclos de la enseñanza de matemáticas y puede ser considerado independiente de otras actividades cognitivas distintas a la visualización (Marmolejo y González, 2015), aspectos a contemplar en el desarrollo de la visualización; y, por otro lado, que los libros juegan un rol determinante en la articulación de las exigencias curriculares nacionales en la praxis educativa al reflejar, al menos en parte, las intenciones de los planes de estudio presentes en los documentos oficiales (Schmidt et al, 1996), por lo que se convierten en una fuente para identificar el contenido cubierto (Pepin, Haggarty y Keynes, 2001) y la forma cómo se presenta en el aula escolar (Cobo y Batanero, 2004). El área y los libros constituyen un espacio de interés para explorar cómo el desarrollo de la visualización es, o puede ser, promovido en el aula.
En lo que sigue, se presenta una descripción de los materiales y métodos considerados en la investigación, seguido de un reporte de los datos encontrados y la presentación y discusión de los resultados. Finalmente, se establecen algunas conclusiones relativas a las implicaciones de este estudio tanto en futuras investigaciones como en el diseño de libros y el desarrollo de programas de cualificación docente.
2. Materiales y métodosConforme a la tipificación de las categorías de análisis asumidas, la investigación es cualitativa, en cuanto al objetivo propuesto es descriptiva e interpretativa. Considerando el grado de abstracción, la investigación es básica y según la captación y selección de los datos, es inductiva y deductiva.
En el presente trabajo se analizaron18 libros de texto utilizados para la enseñanza de las matemáticas en los primeros seis grados de la educación básica obligatoria (grados primero a sexto de bachillerato). Se consideraron las tres editoriales de mayor uso en el Sur-Occidente colombiano (Voluntad, Santillana y SM), y fueron analizadas un total de 1280 tareas (Voluntad: 442 tareas, Santillana: 415 tareas y SM: 424 tareas).
Como objeto de análisis se contemplaron los capítulos de Geometría y Medición de los libros en cuestión, en particular, los apartados donde se plantea, de forma explícita o implícita, el concepto de área de regiones poligonales, es decir, el área aparece como un tipo de magnitud (unión, sustracción, duplicación, descomposición y comparación de superficies) o se contempla su medida a través de la replicación o conteo de unidades superficiales o mediante la aplicación de fórmulas. También se consideraron los apartados donde se tratan de forma simultánea, los conceptos de área y perímetro.
Como unidades de análisis se asumieron los elementos discursivos utilizados por los libros al definir o exponer el contenido propuesto. También se consideraron los procedimientos en los cuales se ejemplifica o aplica el contenido expuesto, así como las actividades propuestas por los libros para movilizar el conocimiento planteado.
Para la interpretación de los datos se consideró el análisis funcional propuesto por Duval (2017, 2004) en relación con el desarrollo de la visualización asociada a las figuras geométricas, en particular, lo relacionado con el desarrollo de la aprensión discursiva.
Dos fueron las categorías de análisis asumidas en el estudio: Ciclo de enseñanza y Cambio dimensional. La primera de las categorías se obtuvo de los Lineamientos curriculares propuestos por el Ministerio de Educación Nacional colombiano (MEN, 2006). La segunda categoría, por su parte, lo fue de la manera como los libros, al plantear el concepto de área, presentan el acto de “descomponer la figura en unidades figúrales de dimensión inferior” (Duval, 2004, p.20).
En la Tabla 1 se indican los descriptores de cada una de las categorías de análisis consideradas en la investigación. (Tabla 1).
Los resultados de la investigación muestran que los libros contemplan de forma significativa el cambio dimensional como una operación clave en los temas correspondientes al concepto de área. la mayor parte de sus tareas (58,46%) exigen considerar un cambio dimensional Fijo u Operatorio para ver las figuras (Figura 1).
No obstante, en la mayoría de estas tareas (667), las unidades constituyentes de 1 y 0 dimensión se asumen de forma estática, es decir, no son objeto de transformación o de reubicación espacial o son consideradas como una parte inamovible de la superficie de las unidades 2D que constituyen o de la figura de la cual forman parte (tareas con cambio dimensional Fijo). Solo 82 tareas consideran algún tipo de dinamismo sobre tales unidades. Es el caso de la aplicación de operaciones tipo dilatación, contracción, sustracción, unión, rotación, traslación y desdoblamiento. Ninguna de las tareas de los libros considera operaciones como observar una figura fuera de su marco de referencia, reorganizar una figura dada, discriminar en una figura, otra, u otras configuraciones. Operaciones estas también determinantes para la deconstrucción dimensional de figuras.
Si consideramos que en la educación obligatoria los libros son el material didáctico de mayor uso en la planeación, preparación y desarrollo de las clases de matemáticas (Schmidt et al, 1996; González y Sierra, 2004), entonces los resultados reseñados muestran que los libros colombianos no aportan oportunidades reales que puedan considerar los educadores para lograr el desarrollo visual asociado a la aprehensión discursiva en sus clases.
Los resultados de esta investigación también muestran que el número de tareas que no plantean la aplicación de un cambio dimensional, disminuyen a medida que aumenta el nivel de escolaridad de los estudiantes (Figura 2).
Lo anterior no es de extrañar, pues, al pasar de un ciclo de enseñanza a otro, los tópicos matemáticos donde es necesario el cambio dimensional crecen en número, es decir, se pasa de nombrar figuras, de aplicar operaciones sobre las figuras, de discriminar regularidades en secuencias donde intervienen las figuras y de la medición directa de superficies, a la aplicación de las mismas operaciones geométricas pero considerando puntos o ejes determinantes. Por ejemplo, puntos de rotación y ejes de simetría. Asimismo, también aumenta el número de tareas en las que se trata la aplicación de fórmulas para determinar la medida del área de figuras poligonales y, paralelamente, se pide calcular perímetros.
En cuanto a las tareas en las que se requiere un cambio dimensional independientemente de su naturaleza, la mayoría están en los libros del segundo de los ciclos de enseñanza mientras que en el primero son minoría (Tabla III). Lo expuesto en el párrafo anterior, también explica por qué del primer ciclo de enseñanza al segundo, aumentan las tareas en las que se requiere la operación de cambio dimensional, mas no el hecho que en el último ciclo, disminuya el número de estas tareas. Así, pues, las oportunidades que los libros brindan para lograr el desarrollo visual asociado a la aprehensión discursiva son, en la educación básica, mayores en el segundo ciclo de enseñanza, pero aun así son, en extremo limitadas. Esto se demuestra tanto por las cuestiones reseñadas en el análisis global antes planteado, como por el pequeño número de tareas de cambio dimensional Operatorio incluidas (52).
Existe, pues, un desequilibrio en el número de tareas que los libros proponen en los dos últimos ciclos de enseñanza, lo que, sin lugar a duda, obstaculizará cualquier posibilidad de desarrollo visual al tratar el tema de área de figuras poligonales. Es necesario, pues, que disminuyan en ambos ciclos las tareas que no incluyen cambio dimensional y las que lo contemplan de forma estática, y en su lugar, se consideren tareas que promuevan cambios dimensionales operatorios. Además, es indispensable incluir entre estas últimas operaciones por otras como se observa una figura fuera de su marco de referencia, reorganizar una figura dada y discriminar en una figura, otra, u otras configuraciones.
4. ConclusionesLa visualización es una cuestión de tratamiento de información y es susceptible de desarrollo (Marmolejo y Vega, 2012). El área es un objeto matemático donde la visualización tiende a ser propicia, consistente y pertinente (Marmolejo y González, 2015). Los libros, por su parte, al ser uno de los materiales didácticos de mayor uso en la escuela, constituyen elementos adecuados para comprender cómo en el aula, y a través del estudio del área de superficies planas, se considera esta actividad cognitiva.
El cambio dimensional es una de las operaciones visuales de mayor complejidad en la enseñanza de las matemáticas. No obstante, los libros analizados, en lo que se refiere al concepto de área, promueven la inclusión de esta operación de forma en extremo limitada. Esto puede considerarse un elemento para comprender por qué los estudiantes colombianos en las pruebas externas nacionales e internacionales encuentran serias dificultades al ser evaluados en los tópicos de geometría y medición (Marmolejo, 2005; MEN, 1996). Se requiere un trabajo más intenso en lo relativo a la consideración de las figuras planas y en las tareas en las que la operación de cambio dimensional desempeña un rol determinante.
Así, pues, si debe lograrse el desarrollo visual en los primeros grados de la enseñanza de las matemáticas (Duval, 1998), y si los educadores consideran para tal fin las tareas que incluyen los libros de texto en cuanto al concepto de área, entonces, por un lado, es labor de los diseñadores de los libros velar por un equilibrio en las tareas propuestas, es decir, se debe tratar de disminuir aquellas que suscitan cambios dimensionales Fijos y aumentar las que contemplan cambios dimensionales Operatorios. Más específicamente, se debe aumentar el número de tareas que incluyen cambios dimensionales Operatorios tanto en el primero como en el segundo de los ciclos de enseñanza, y en el tercero establecer una proporción mayor de tales tareas que en los ciclos previos. Los educadores, por otro lado, deben apropiarse de referentes conceptuales que les permita identificar las operaciones, dificultades y fenómenos visuales que intervienen en la enseñanza de las matemáticas y de cómo unos y otros pueden ser desarrollados o enfrentados.
Para terminar, es importante llamar la atención a la realización de nuevas investigaciones que analicen cómo los libros desde el concepto de área promueven el desarrollo de otras operaciones visuales asociadas a las figuras. Igualmente, se debe considerar tal cuestión en relación con otros objetos matemáticos y a través de representaciones semióticas de naturaleza distinta, es el caso de las figuras tridimensionales, los gráficos cartesianos, las tablas… Asimismo, habría que analizar cómo los educadores utilizan las tareas de los libros para lograr el desarrollo visual, y cómo las decisiones adoptadas influyen en el aprendizaje de sus estudiantes. Sólo de esta manera será posible hacer de la visualización una herramienta real para aportar sentido y significado al estudio de las matemáticas.
5. Referencias
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a*Doctor en Educación Matemática, usalgamav.investigacion@gmail.com,ORCID 0000-0001-9047-4389 Universidad de Nariño, Pasto, Colombia.
Recibido Julio de 2017 - Aceptado Diciembre de 2017
Forma de citar: Marmolejo, G-A. (2018). ¿Cómo promueven el cambio dimensional los libros de texto colombianos en relación con el área de regiones poligonales?. Eco Matemático, 9(1), 15-22
2590-9215© 2017 Universidad Francisco de Paula Santander. Este es un artículo bajo la licencia CCBY