Semillero de Investigación en Educación Matemática, Licenciatura en Matemáticasdilansaraza1@gmail.como. 
0000-0001-7469-9748.Universidad Francisco de Paula Santander, Cúcuta, Colombia.*Semillero de Investigación en Educación Matemática, Licenciatura en Matemáticasdilansaraza1@gmail.como. 0000-0001-7469-9748.Universidad Francisco de Paula Santander, Cúcuta, Colombia.
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Forma de Citar: Saraza-Sosa, D. F, Prada-Núñez, R. & Vera-Gutiérrez, C. L. Comprensión de la derivada apoyada en la ingeniería didáctica como método de investigación. Eco Matemático, 10 (1), 42-56
© 2590-9215© 2017 Universidad Francisco de Paula Santander. Este es un artículo bajo la licencia CCBYNCNDCCBYNCND
Recibido: 1 septiembre 2018.
Aprobado: 17 noviembre 2018.
Resumen:
El cálculo diferencial ha tenido diversas dificultades en el entendimiento de sus diversos conceptos, en especial en el tema de la derivada, donde se ha registrado que los estudiantes desarrollan una asimilación de tipo algorítmico y mecánico en la aplicación de sus reglas de derivación, despreciando la construcción gráfica y visual, la cual es importante para un desarrollo óptimo del saber mencionado. Por lo anterior se implementó la metodología de ingeniería didáctica en el tema de la derivada, con el fin de sentar bases de tipo epistémico y documental para conocer cuáles son las situaciones que generalmente se presenta entorno a la enseñanza de este saber, en base a lo anterior se aplicó una prueba de conocimiento para identificar el grado de comprensión adquirido por los docentes en formación de programa académico de Licenciatura en Matemática de la Universidad Francisco de Paula Santander, a fin de establecer lineamiento para la estructuración de unas secuencias didácticas que fomento un aprendizaje óptimo de la derivada.
Palabras Claves
Ingeniería didáctica, derivación, comprensión gráfica de la derivada.
Abstract
Differential calculus has had various difficulties in understanding its various concepts, especially in the topic of the derivative, where it has been recorded that students develop an algorithmic and mechanical assimilation in the application of their derivation rules, neglecting the graphic and visual construction, which is important for an optimal development of the mentioned knowledge. For this reason, the didactic engineering methodology in the derivative theme was implemented, in order to lay foundations of an epistemic and documentary type to know what are the situations that generally arise around the teaching of this knowledge, based on the Previous, a knowledge test was applied to identify the degree of understanding acquired by the teachers in training of the academic program of Bachelor of Mathematics at the Francisco de Paula Santander University, in order to establish guidelines for the structuring of didactic sequences that promote learning. optimal of the derivative.
Keywords
Didactic engineering, derivation, graphic understanding of the derivative
Introducción
En ocasiones se han presentado dificultades en la comprensión diversos conceptos relacionados a las matemáticas universitarias, especialmente en la asignatura de Cálculo Diferencial tal como se muestra en la investigación de Hernández-Suarez, Prada-Núñez & Ramírez-Leal (2017), ocasionado por una mala orientación por parte de la enseñanza que indirectamente promueve el dominio de procesos algebraicos, restringiendo la comprensión y por ende llevando una mala formación en el aprendizaje y la apropiación de las temáticas estudiadas (Retana, 2013); (Pinto y Parraguez, 2015); (Gallo, Manrique y Prada, 2017). Tall (1993) expone que existen falencias en el aprendizaje del cálculo en cuanto a su representación visual, habiendo preferencia la manipulación numérica y simbólica; sin relacionarlo a la resolución de problemas.
En esta perspectiva Hitt (2003) sostiene la necesidad de la visualización matemática conectándola con diferentes representaciones en el aprendizaje del cálculo ya que al realizar manipulaciones meramente algebraicas se aborda ineficientemente la comprensión, limitando el significado de las nociones matemáticas que se buscan desarrollar. Lo anterior se relaciona a lo afirmado por Duval (2006)
solo en matemáticas donde se requiere un amplio y complejo juego de transformación de representaciones para pensar y también porque un enfoque dualista de la actividad matemática conduce a negar su importancia cognitiva. De hecho, la comprensión conceptual surge de la coordinación de los diversos sistemas semióticos usados, y darse cuenta de la forma específica de representar para cada sistema semiótico es condición cognitiva para la comprensión. (p.166)
Dentro de ese orden de ideas la derivada es un tema impartido al final la asignatura de cálculo diferencial que no es ajena a la anterior premisa, presentando dificultades en la intelección de los conceptos relacionados a esta, siendo un indicador susceptible de investigación que ha encaminado al desarrollo diferentes trabajos enfocados a identificar y potenciar una mejor comprensión de la derivada de una función. Park (2013) después de orientar una unidad en la formación en este concepto, identificó las concepciones presentadas por los estudiantes, determinando que no se construían en su totalidad, construyendo ideas diferentes de la derivada de una función general y particular (teniendo una mejor asimilación en esta), sin relacionar las nociones de derivada y pendiente. Ruiz, Gutiérrez, y Garay (2018) con el objetivo visualizar escenarios de conceptos adjuntos a la derivada por parte de los educandos, se impartieron una metodología de enseñanza mediante el uso de dispositivos móviles, obteniendo un avance significativo en cuanto a la conceptualización de razón de cambio, advirtiendo también que prima la asimilación el concepto de derivada como la resolución operativa de ejercicios sin relacionarlos a su respectivo entendimiento geométrico utilizando la noción de limite, similar a las evidencias obtenidas por Briceño, Hernández y Espino (2018) donde después de aplicar un instrumento de tipo geométrico-variaciónal relacionado a la temática de la derivada y enfocado a determinar las ideas existentes por parte de los estudiantes, se obtuvieron tendencias hacia una asimilación algebraica relacionada con la fórmula del límite y las reglas de derivación, despreciando su respectiva comprensión gráfica, teniendo también nociones no complementarias de la tangente; como recta que solo toca la función en un solo punto, Estas afirmaciones resultan ser coincidentes con algunas conclusiones provenientes de trabajos realizados anteriormente por (Vrancken, Engler, y Müller, 2010), (Rodríguez, 2015), (Gutiérrez, Buitrago y Ariza , 2017), (Saraza y Prada, 2017).
Partiendo de lo anterior es necesario traer a consideración la importancia de fomentar una buena aprehensión de esta temática desde una perspectiva grafica como lo expone Weigand (2014) que plantea que es esencial fomentar un buen entendimiento del concepto de derivada que trascienda las reglas sintácticas de derivación y así crear bases fuertes para la continuación de la línea del cálculo y su articulación situación con otras disciplinas. Esta premisa encabeza el propósito de este trabajo de investigativo, que adopta la metodología de ingeniería didáctica (explicada seguidamente), con el fin fomentar una comprensión de conceptos de la derivada desde una perspectiva gráfica, sin descuidar su correspondiente asimilación algebraica.
Materiales y métodos
La metodología de investigación es la denominada ingeniería didáctica, Según Calderón y Corredor (2012) esta presenta una correlación entre un análisis epistémico y la implementación de un diseño didáctico. Los autores afirman que la particularidad esencial de este método de investigación es análisis dado durante el diseño las actividades (a priori) y el análisis posterior a su respectiva aplicación (a posteriori). Artigue (1995) la caracteriza como un método de “realizaciones didácticas” que conlleva la construcción y ejecución de secuencias de enseñanza, para posteriormente analizar los resultados encontrados, estableciendo una serie de fases a seguir en el respectivo proceso.
1) Fase 1 Análisis preliminar
2) Fase 2 Concepción y análisis a priori de las situaciones didácticas de la ingeniería
3) Fase 3 Experimentación
4) Fase 4 Análisis a posteriori y evaluación
En ese sentido la presente investigación está encaminada a agotar cada una de las fases en metodología de ingeniería didáctica, presentando en este documento avances de las primeras tres, donde se realizó en primer lugar un análisis epistémico del desarrollo evolutivo del concepto de derivada, en segundo lugar un análisis a priori, a partir de un rastreo de tipo documental derivado de un estado del arte alrededor de la comprensión del concepto de derivada, enfocado a la identificación de los aportes realizados previamente por otros investigadores en función de las falencias o potencialidades que continuamente se presentan en el momento de orientar esta temática. Y finalmente en base al análisis epistemológico y el análisis a priori se estructuro y aplicó un instrumento que identificara las dificultades de aprendizaje en los conceptos adjuntos a la derivada. La población sujeta a este trabajo fueron 32 docentes en formación, tomando una muestra de 5 estudiantes que cursaban la asignatura de Calculo Diferencia, en el programa académico de licenciatura en matemáticas de la Universidad Francisco de Paula Santander (UFPS) durante el segundo semestre del año 2018.
Resultados y análisis
1. Análisis preliminar
La transformación del concepto de derivada, tuvo un proceso evolutivo en el cual fue promovido por diferentes conceptos asociados, inicialmente con el problema del trazado de tangentes iniciada en la antigua Grecia con problemas de tipo geométrico, y seguidamente la determinación de máximos y mínimos, enunciada formalmente por Fermat, posteriormente Newton y Leibniz quienes llevan hasta su umbral el cálculo infinitesimal y por ende el concepto de derivada. Partiendo de lo anterior se presenta una descripción de las diversas etapas clave para la formación del concepto de derivada a partir de los trabajos de (Pino, Godino y Moll, 2011); (Vázquez y del Rincón, 1998) y (Pinto y Parraguez, 2015). Ver tabla I
Análisis a priori
En el análisis a priori se han tenido en cuenta la revisión de tipo estado del arte, en diversos antecedentes que se han enfocado en la determinación de diversas dificultades o destrezas presentadas comúnmente por los estudiantes y/o docentes cuando se orienta la conceptualización de la derivada de una función.
Experimentación
En base al análisis epistémico donde se identificaron los conceptos claves en el desarrollo del concepto de derivada a nivel epistemológico y también a partir del análisis a priori de las diferentes investigaciones que han encontrado las falencias presentadas comúnmente en la construcción de este concepto se estableció una prueba de conocimientos enfocada a caracterizar las concepciones que presentan algunos estudiantes de Licenciatura en Matemáticas de la UFPS que cursaron la asignatura de Cálculo Diferencial durante el segundo semestre del 2018.
3.1 Prueba de conocimientos. Se construyeron 5 ejercicios establecidos a fin de identificar las falencias o potencialidades que poseen los estudiantes en los diferentes registros de representación (algebraico, numérico y gráfico) involucrados en la determinación de diversos conceptos relacionados a la derivada de una función. Partiendo de lo anterior se expondrá a nivel general el desempeño obtenido en la aplicación del instrumento (ver tabla 3) acompañado del objetivo que se planteó para la respectiva actividad.
3.1.1 Presentación de resultados a nivel general
Los estudiantes se nombraron con las letras de A, B, C, D y E. En los niveles de desempeño se caracterizaron cuantitativamente dependiendo de los puntajes obtenidos en cada una de las actividades, considerados de la siguiente forma, desempeño bajo (0 – 0,25), desempeño regular (0,26 – 0,51), desempeño medio (0,52 – 0,77) y desempeño alto (0,78 – 1).
3.1.2 Actividades en la prueba de conocimiento aplicada.
Se identifica inicialmente el aprendizaje al solucionar de forma óptima el planteamiento que se presenta, para posteriormente comentar lo desarrollado por los estudiantes, teniendo en cuenta las dificultades y fortalezas presentadas.
El primer punto se enfocó a identificar si existía el pensamiento algebraico en la solución algorítmica de los ejercicios planteados, así mismo se evidenciaría la asimilación algorítmica de las reglas de derivación (regla del producto, del cociente, de la cadena, entre otras) al hallar las derivadas sucesivas (derivadas de orden superior) de las funciones expuestas.
1. Halle la derivada de orden superior que se le indica frente a cada función.
En la función polinómica presentada de primera no se concedió ninguna problemática; en la función racional del literal b el estudiante D la enunció sin realizarle algún proceso, como se muestra en la tabla de resultados, los estudiantes B y C solucionaron óptimamente los ejercicios planteados, contrario a las soluciones presentadas por A, D y E quienes tuvieron falencias de tipo algebraico en los dos últimos literales, en especial en el d donde el proceder en su solución fue inadecuado. Los estudiantes A, B, D, E no recuerdan o no saben cómo aplicar la regla de la cadena al literal c, y tres de estos la dejaron enunciada solamente, aunque no es un factor a considerar, ya que es de carácter memorístico, por lo menos uno se interesó en encontrar la solución por otro método.
Partiendo de lo anterior, se puede inferir que se presenta un nivel de solución algorítmica a los ejercicios expuestos por partes de los estudiantes, aunque se evidencias algunas falencias de tipo procedimental y algebraico.
La segunda actividad se estructuró para analizar la relación que existe en el registro gráfico entre la función f(x) y la función derivada f´(x), distinguiendo las nociones en cuanto a la recta tangente en un punto cualquiera y en los distintos puntos respecto a la función dada. En ese sentido se evidenciará si es mayor la comprensión del registro gráfico de la derivada con respecto al registro algebraico, analizado en el ítem anterior.
2. Considere la función y=x3-1. a) Haga un bosquejo de su gráfica tan cuidadosamente como pueda; b) Dibuje la recta tangente en x=2 y x=0; c) Estime la pendiente y la ecuación de la recta tangente en los valores de x ; d) grafique la respectiva función derivada y´
En este punto se evidenció un desempeño regular en el manejo del registro gráfico de la derivada. Todos graficaron la función dada normalmente, partiendo de ahí se pedía graficar la recta tangente en los puntos dados. Los estudiantes A, B, D, E trazaron estas rectas cortando el recorrido de la función en el punto x=2, es decir, una recta vertical en el punto dado, y ninguna en el punto cero; solo el estudiante C trazó bien las rectas tangentes. En cuanto a la de la ecuación de la recta, el estudiante B pudo establecer la relación entre la derivada y la pendiente de la recta tangente para la ecuación de esta misma. En este punto se evidencia una pobre concepción de la relación entre f(x) y f´(x), teniendo nociones del registro algebraico a nivel procedimental pero no visual. Finalmente, se resalta la evidente falta de argumentación a las acciones realizadas.
La tercera y cuarta actividad se enfocó en los conceptos del criterio de la primera y segunda derivada, con el fin de identificar si el estudiante articula procedimientos algebraicos en la determinación de los puntos críticos (máximos y mínimos) respecto a la gráfica de la función que se les pide modelar. Así mismo, se pretendía determinar la forma como solucionan problemas de optimización de tipo estándar presentado comúnmente, en los cuales interfieren conocimiento de tipo procedimental en el análisis y la solución de las diversas situaciones.
Realice el bosquejo de la gráfica generada por la expresión f(x)=2x3-9x2+12x, utilizando los criterios de primera y segunda derivada, determinando intervalos de crecimiento, valores máximos y mínimo, concavidad y punto de inflexión.
De los siguientes ejercicios de optimización propuestos, elige solo una de las situaciones, enciérrala en un círculo e intenta determinar su solución.
Expresa el número 60 como la suma de tres números positivos de forma que el segundo sea el doble del primero. Se desea que el producto de los tres números sea el máximo posible, determine cada número.
Se desea construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de 32 cm de larga por 24 cm de ancha. Para ello se recortará un cuadradito (de lado x) en cada esquina y se doblará. ¿Cuál debe ser el lado del cuadradito cortado para que el volumen de la caja resultante sea máximo?
Se ha observado que, en autopista norte de salida de Bogotá, la velocidad de los vehículos en horas de la tarde (entre las 2:00 - 6:00 pm) viene dada por la expresión v(t)=t3-15t2+72t+8. ¿A qué hora circulan los vehículos con mayor velocidad?
Estas dos actividades se presentan conjuntamente, ya que el desempeño en la resolución de estos puntos fue bajo, los estudiantes solo hallaban la primera o segunda deriva y las dejaban enunciadas, trataban de formular analíticamente la situación sin relacionarlo a la derivada, o lo que es equivalente a afirmar que no procedían en la determinación de los valores máximos y mínimos o de punto de inflexión, lo que permite intuir que el tema no se hubiese llegado a desarrollar de forma profunda. A nivel general, no se evidencia ninguna relación del concepto de derivada con la construcción de la gráfica o problemas de tipo aplicado a situaciones de contexto.
En el punto final se pretendía evidenciar la relación entre la gráfica de una función (en este caso visualizada y teniendo que determinar la ecuación que modelaba su comportamiento) y su respectiva derivada, la cual tenían que graficar después de encontrar la función derivada. Con este ítem se analiza como los estudiantes transitan desde el registro gráfico al registro algebraico, en el entendimiento de la noción de derivada.
Dada la gráfica de la función: Determine su ecuación f(x) Halle la derivada de la función encontrada. Realice un gráfico de la función derivada.
En este ítem fue dónde los estudiantes exhibieron mejor nivel de compresión, por ello todos tienen un desempeño alto en los resultados presentados. Todos los estudiantes determinaron la ecuación de la función a partir del análisis de la respectiva grafica presentada, identificando el vértice y punto de corte en el eje de las ordenadas, partiendo de esta identificación de valores, modelaron la función y hallaron su respectiva derivada, en comparación a la actividad del punto 2 se presentó una mejor relación entre estas dos funciones.
Conclusiones
En base a lo encontrado en el análisis epistémico se evidencia que el concepto de derivada tuvo una evolución dese una perspectiva geométrica y visual, hasta su respectiva formalización en términos algebraicos, contrario a los hallazgos encontrados en el rastreo de tipo documental en el cual los estudiantes desarrollan una fuerte noción de la derivada de una función como el proceder algorítmico en la aplicación de las diferentes reglas, despreciando en gran medida el respectivo entendimiento gráfico. Lo anterior similar a lo encontrado en la prueba de conocimiento realizada en esta investigación, donde también se logró identificar falencias en la resolución de los puntos presentados. Asi en la aplicación de las actividades que articulaban el pensamiento gráfico- algebraico, se notan falta de conocimiento de tipo conceptual que les permitieran abordar lo pedido en esos puntos, un ejemplo es el mal trazado que dieron algunos estudiantes a la rectan tangente en los puntos dados y de igual forma los argumentos de las nociones que poseían, aunque se fueron mayores las dificultades en el punto 2 en el que se transitaba del pensamiento algebraico al gráfico, hubo mejor recepción cuando se presentó desde la parte visual de la gráfica a su ecuación acción que se debía hacer en el punto 5.
Las situaciones que tenían como fin identificar como utilizan la derivada en términos de aplicación a su respectivo concepto en la determinación de los puntos críticos o problemas de optimización fueron en las que se generaron menor aceptación, o desarrollo en su solución, solo dejando enunciadas solo las partes que se desarrollaban de carácter mecánico, de ahí inferimos una ineficiente apropiación del concepto y su respectiva utilidad.
Partiendo de lo anterior se recomienda impartir este concepto con la articulación de diferentes registros de representación semiótica, para formar su asimilación desde diferentes perspectivas, esta premisa encamina el siguiente paso a realizar en la complementación de la ingeniera didáctica presentada en esta investigación, donde se estructurarán y posteriormente se aplicarán de unas secuencias didácticas de función de promover una buena conceptualización en los estudiantes.
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