Eco matemático ISSN: 1794-8231 (Impreso), E-ISSN: 2462-8794 (En línea) Volumen 12 (1) Enero-Junio de 2021, páginas 6-13


El análisis de sensibilidad local de un modelo matemático sobre resistencia antibiótica

The analysis of local sensibility of a mathematical model on antibiotic resistance

Angie Alejandra Acosta-Alvaradoa* Eduardo Ibargüen-Mondragónb* Miller Cerón-Gómezc*

a* Licenciada en matematicas, aleja215@udenar.edu.co , ORCID: 0000-0003-2971-1810 Universidad de Nariño, Departamento de Matemáticas, San Juan de Pasto, Colombia.

b* Doctor en ciencias, edbargun@udenar.edu.co , ORCID: 0000-0001-6308-1344 Universidad de Nariño, Departamento de Matemáticas, San Juan de Pasto, Colombia.

c* Doctor matemáticas aplicadas , millercg@udenar.edu.co , ORCID: 0000-0002-2689-495X Universidad de Nariño, Departamento de Matemáticas, San Juan de Pasto, Colombia.


Forma de citar: Forma de citar: Acosta-Alvarado, A. J, Ibargüen-Mondragón, E, Cerón-Gómez, M, (2021). El análisis de sensibilidad local de un modelo matemático sobre resistencia antibiótica. Eco Matemático, 12 (1), 6-13

Recibido: 10 de agosto de 2020
Aceptado: 16 de octubre de 2020


© P2590-9215© 2017 Universidad Francisco de Paula Santander. Este es un artículo bajo la licencia CC BY 4.0


Palabras claves

Sensibilidad local, parámetros, índice de sensibilidad, modelo, efecto/afectación.

Resumen

El análisis de sensibilidad local (ASL) es un método poco utilizado, pero de importancia al momento de decidir cuales parámetros dentro de un modelo tienen mayor influencia o efecto dentro del mismo, incluso permite suprimir ciertos parámetros cuyo índice de sensibilidad es casi nulo. En este trabajo de investigación se aborda el modelo de bacterias sensibles y resistentes al antibiótico de Esteva et al. (2011). Al cual se le realizara ASL por medio del método de Coeficientes de Sensibilidad Locales Normalizados de Turányi. El ASL revela que la tasa de reproducción de bacterias sensibles y resistentes son los factores que más influencia tienen dentro del modelo propuesto.


Keywords

Local sensitivity, parameters, sensitivity index, model, effect / affectation.

Abstract

The analysis of local sensitivity (ASL) is a rarely used method, but it is important when deciding which parameters within a model have the greatest influence or effect within it, it even allows the suppression of certain parameters whose sensitivity index is almost zero. In this research work the model of bacteria sensitive and resistant to the antibiotic of Esteva et al. (2011). To which ASL will be performed by means of the Turányi Normalized Local Sensitivity Coefficients method. The ASL reveals that the reproduction rate of sensitive and resistant bacteria are the factors that have the most influence within the proposed model.

*Autor para correspondencia aleja215@udenar.edu.co

Enlace documento DOI: 10.22463/17948231.3064


Introducción

El presente documento tiene como objeto de estudio el análisis de sensibilidad local, que es una de las clases de análisis de sensibilidad en conjunto con el análisis de sensibilidad global. Para entrar en materia, se realiza el análisis de sensibilidad local para el modelo matemático desarrollado por Esteva et al. (2011) con la finalidad de describir el efecto de ciertos parámetros en las salidas del modelo, mediante el cálculo de derivadas parciales que ayudara a determinar cuál o cuáles parámetros son los que afectan más en el resultado. En el estudio de modelos matemáticos se podría aplicar el análisis de sensibilidad paramétrica con diferentes propósitos como: la estimación de parámetros, discriminación de modelos, optimización y/o control, entre otros, ante lo cual Link et al. (2018) plantea que el análisis se puede realizar mediante un método basado en procesos iterativos en cada parámetro tomando rangos determinados. Se analizara el modelo matemático sobre bacterias sensibles y resistentes a antibióticos de Esteva et al. (2011), este modelo de competencia describe la interacción entre las poblaciones de bacterias sensibles, bacterias resistentes y concentración de antibiótico, denotadas por S(t), R(t) y C(t), respectivamente. A partir de esta técnica se discrimina los parámetros que afectan de manera significativa el modelo propuesto, por medio del análisis de cada parámetro en relación a los índices de sensibilidad.

El análisis de sensibilidad se puede llevar a cabo utilizando diferentes métodos como lo menciona Jurgen et al. (2013): método directo, métodos basados en Monte Carlo, métodos de pruebas de sensibilidad de amplitud de Fourier, el método de la función de Green y el método de los coeficientes de sensibilidad locales normalizados propuesto por Turányi (1997).


Materiales y métodos

Análisis de Sensibilidad

El análisis de sensibilidad es un método matemático que investiga la dependencia de los resultados en los valores de los parámetros. Además, determina el efecto de las variables de entrada en las variables de salida. A partir de este análisis se podría inferir el resultado de una decisión, es decir tanto las variables independientes como las dependientes harán parte del análisis de sensibilidad.

Análisis de Sensibilidad Local

El análisis de sensibilidad local (ASL) es un método que evalúa la influencia o el impacto local de la variación de las entradas en las salidas del modelo.

El análisis de sensibilidad se realiza por medio del método de coeficientes de sensibilidad local normalizados, el cual consiste en calcular el Índice de sensibilidad (Índice de eficacia) I de cada parámetro P en función a cada variable de estado S, denotado por I pS. El índice mencionado anteriormente está dado por

donde Pk son los parámetros e y son los resultados o variables de salida

Modelo matemático

Un modelo matemático utiliza fórmulas para establecer un conjunto de relaciones ya sean de igualdad o de desigualdad, las cuales están definidas por variables y parámetros que facilitan el estudio de fenómenos en diferentes áreas de conocimiento. Como ejemplo de modelo se encuentra el modelo propuesto por Van Henten (1994) para el cultivo de lechuga, el cual tiene como variables de estado, el peso seco estructural y el peso seco no estructural; como variables de entrada radiación fotosintéticamente activa (PAR), temperatura, y la concentración de dióxido de carbono [CO2]. Otro ejemplo según Restrepo y Bermudez es el modelo matemático de incubación de aves propuesto por Jose Bermudez Santaella, en el cual implementan el software MATLAB-SIMULINK teniendo en cuenta las variables involucradas en dicho modelo, como la estrategia de control y la sensibilidad.

Modelo matemático sobre bacterias sensibles y resistentes a antibióticos de Esteva, Ibargüen, y Romero (2011).

Dentro de la formulación del modelo se considera que las bacterias sensibles y las resistentes presentan crecimiento logístico con capacidad de carga constante K y tasas de reproducción βs y βr, respectivamente, con βs ≤ βr . Además, tanto las bacterias sensibles como resistentes tienen tasa de mortalidad per cápita μs y μr respectivamente. La concentración de antibióticos se suministra a una tasa constante ∧ y se degrada a una tasa per cápita constante μc , este modelo esta descrito por:

El conjunto de interés biológico está dado por:

donde Rr representa el número de bacterias producidas por las bacterias resistentes, y Rs representa el número de bacterias producidas por la fracción de bacterias sensibles que escapan a la acción del antibiótico. La siguiente proposición resume los resultados de existencia del modelo (1).

La siguiente proposición resume los resultados de estabilidad del modelo (1).

Proposición 2. Las soluciones de equilibrio del sistema (1) satisfacen:

Si Rs <1 y Rr < 1, entonces el equilibrio trivial E_0 es localmente asintóticamente estable en Ω. Si R0 > 1 o Rr > 1, entonces E0 es inestable.

Si Rs < Rr y Rr > 1, entonces el equilibrio trivial E1 es localmente asintóticamente estable en Ω. Si S0 > Rr , entonces E1 es inestable.

Si Rs > 1 y Rs > Rr , el equilibrio E2 es localmente asintóticamente estable en Ω.


Resultados y análisis

A partir de las Proposiciones 1 y 2 se observa que el comportamiento de las variables S, R y C, dependen de los números reproductivos Rs y Rr . Lo anterior permite considerar Rs y Rr como variables de salida, en este sentido, el ASL consiste en calcular los índices de sensibilidad de Rs y Rr con respecto a cada uno de los parámetros del modelo. Por lo tanto, para Rs el índice de sensibilidad se calcula en relación a los parámetros βs , αs , ∧, μc y μs , mientras que para Rr se calcula en relación a los parámetros βr , αs , Λ, μc y μr . El calculo de los índices se presenta en la Tabla I.

Con respecto a los valores de los índices, obsérvese βs y βr son los parámetros que más afectan el resultado del modelo, seguidos por el parámetro μc , luego los parámetros αS , ∧, μs y por último el parámetro que menos afectaría seria μr .

Con respecto a la magnitud de los valores de los índices, los parámetros que más afectan son βs , βr y μr , y los que menos afectan serian αS , ∧, μc y μs .

Con el propósito de estimar los valores que más afectan los números reproductivos Rs y Rr en un rango determinado, se considera cada índice como como función del parámetro de su parámetro, los demás parámetros permanecen fijos. Por ejemplo, para el parámetro αS se convierte en la variable y el resto de los parámetros se convierten en constantes. La Tabla 2 presenta los rangos de los parámetros que serán utilizados para realizar las gráficas de los índices.

En este sentido, las funciones definidas por los índices son:

Mediante el Software Python que es un lenguaje de programación interpretado, dinámico y multiplataforma, y el cual posee una licencia de código abierto denominada Python Software Foundation License, se realiza la gráfica de cada función:

La Figura 1 muestra la gráfica de I SasS ), se observa que entre más pequeño sea el parámetro αS , más efecto tiene este parámetro sobre el modelo matemático lo cual sucede en el valor de αs =0,024.

La Figura 2 muestra la gráfica de I S (∧), se observa que entre más pequeño sea el parámetro Λ, más efecto tiene este parámetro sobre el modelo matemático lo cual sucede en el valor de Λ=0,1.

La Figura 3 muestra la gráfica de I Sμcc ), se observa que entre más pequeño sea el parámetro μc , más efecto tiene este parámetro el modelo matemático lo cual sucede en el valor de μc = 0,01.

La Figura 4 muestra la gráfica de b style="font-size: x-large;">I Sμss ), se observa que entre más grande sea el parámetro μs , más efecto tiene este parámetro sobre el modelo matemático lo cual sucede en el valor de μs =0,51.

De esta manera, se toma los valores en los que se obtuvo mayor variación que están dados por αS = 0,024, ∧= 0,1, μc = 0,01 y μs = 0,31. Y como los índices βs y βr son constantes se toma el valor presentando en la Tabla II.

Luego se reemplaza estos valores en las ecuaciones (2) y (3).

Con lo cual se puede decir que el número máximo de bacterias que se producen por las bacterias sensibles está dado por 0,8.

Así, cuando se grafica R s en funcion de βs , y el resto de los parámetros se convierten en constantes.

La Figura 5 muestra la gráfica de Rs , se observa que entre más grande es βs , más efecto tiene este parámetro sobre βs lo cual sucede en el valor de βs = 0,52.

Y cuando se grafica Rr en funcion de βr , y el resto de los parámetros se convierten en constantes.

La Figura 6 muestra la gráfica de Rs se observa que entre más grande es βr más efecto tiene este parámetro sobre Rr lo cual sucede en el valor de βr = 0,7


Conclusiones

Se concluye a partir del análisis realizado en métodos y resultados, que el análisis de sensibilidad local realizado para el modelo matemático sobre bacterias sensibles y resistentes a antibióticos de Esteva et al. (2011) permitió determinar que los parámetros βs , y βr (tasas de reproducción de bacterias sensibles y las resistentes respectivamente) tienen mayor influencia. Por otro lado el ASL es un método abordado para el estudio de modelos matemáticos, aun así existen métodos como los mencionados al inicio de este documento que permiten su implementación (Pacheco, 2016).


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