Eco matemático ISSN: 1794-8231 (Impreso), E-ISSN: 2462-8794 (En línea) Volumen 12 (2) Julio-Diciembre de 2021, páginas 54-64

Una nueva noción de conjuntos neutrosóficos a través de los conjuntos *b-abiertos en espacios topológicos neutrosóficos

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Introducción

La teoría de conjuntos difusos (Zadeth, 1965), la teoría de conjuntos difusos intuicionistas (Atanassov, 1986), la teoría de conjuntos neutrosóficos (Smarandache, 2010) y la teoría de conjuntos neutrosóficos de intervalo (Hanafy, 2003) pueden considerarse herramientas para tratar las incertidumbres. Sin embargo, todas estas teorías tienen sus propias dificultades que señaló Smradache (2010). Zadeth (1965) introdujo la teoría de conjuntos difusos como una herramienta matemática para tratar las incertidumbres en las que cada elemento tenía un grado de pertenencia. El conjunto difuso intuicionista fue introducido por Atanassov (1986) como una generalización del conjunto difuso, donde además del grado de pertenencia y el grado de no pertenencia de cada elemento. El conjunto neutrosófico fue introducido por Smarandache (2010) y, explicado, el conjunto neutrosófico es una generalización del conjunto difuso intuicionista. Salama y Alblowi (2012) introdujo el concepto de espacios topológicos neutrosóficos. Introdujeron el espacio topológico neutrosófico como una generalización del espacio topológico difuso intuicionista y un conjunto neutrosófico además del grado de pertenencia, el grado de indeterminación y el grado de no pertenencia de cada elemento.

Este artículo se divide en cinco secciones. La sección (2) consta de las definiciones básicas y algunas propiedades bien conocidas que se utilizan en las secciones posteriores. La sección (3) trata de la definición de conjunto neutrosófico *b-abierto en espacios topológicos neutrosóficos y sus diversas propiedades. La sección (4) trata de la definición de conjunto neutrosófico *b-cerrado en espacios topológicos neutrosóficos y sus diversas propiedades. La sección (5) trata de los conceptos de operadores neutrosóficos *b-interior y neutrosóficos *b-de clausura y estudiamos algunas de sus propiedades.

Las nociones aquí presentadas se pueden extender a la topológica neutrosófica definiendo generalizaciones (Salama y Albowi, 2012), espacios bitopológicos (Das y Tripathy, 2020), conjuntos neutrosóficos difusos (Karaaslan, 2015), conjuntos neutrosóficos pitagóricos (Granados y Dhital, 2021) y entre otros. Además, utilizando la noción de neutro-algebra definida por Smarandache (2020), se pueden estudiar las nociones aquí presentadas en pentapartitioned (Das et al. 2021). Por otro lado, estas nociones se pueden definir y estudiar en conjuntos neutrosóficos clásicos (Granados, 2020) y en la estadística convergencia (Granados y Dhital, 2021). Por otro lado, sería de gran interés que estas nociones puedan estudiar y aplicarse en TIC y educación matemática para su enseñanza en instituciones educativas de nivel superior, para conocer más sobre TIC y educación en las matemáticas ver los trabajos de (Zamora et al., 2020), (Vergel et al., 2016) y (Granados y Padilla, 2021).

Nociones Preliminares

En esta sección, recordamos algunas definiciones bien conocidas sobre conjuntos neutrosóficos y sus operaciones. Las definiciones y proposiciones presentadas a continuación, fueron definidas por (Salama y Alblowi, 2012).

Definición 2.1 Sea Y un conjunto arbitrario no vacío. Un conjunto neutrosófico (NS) B es un objeto que tiene la B = {< y, μB(y), ơ γB(y), μB(y)>: yεY} donde μB(y), ơB(y) y γB(y) representan las funciones de grado de membresía, grado de indeterminación y el grado de no membresía de cada elemento yε Y al conjunto B.

Observación 2.2 Un conjunto neutrosófico B = {< y, μB(y), ơB(y), γB(y) >: y ε Y} se conoce como una tripleta ordenada < μB, ơB, γB > en ] -0,1+[ sobre Y.

Observación 2.3 Durante el desarrollo de este artículo, denotaremos B = < y, μB, ơB, γB > para el conjunto neutrosófico B = {< y, μB(y), ơB(y), γB(y) >: yεY}.

Ejemplo 2.4 Sea B un conjunto no vacío IFS de Y, se puede observar que B es un conjunto NS de la forma B = {< y, μB(y), 1- (γB(y) + γB(y)), γB(y) >: y ε Y}.

Dado que nuestro objetivo principal es construir herramientas para desarrollar conjuntos neutrosóficos y topología neutrosófica, se debe introducir las nociones de NS 0N y 1N en Y de la siguiente manera:

0N se define de la siguiente manera:
(01) 0N = {< y, 0, 0, 1 >: yε Y}
(02) 0N = {< y, 0, 1, 1 >: y ε Y}
(03) 0N = {< y, 0, 1, 0 >: yε Y}
(04) 0N = {< y, 0, 0, 0 >: yε Y}

1N se define de la siguiente manera:
(11) 1N = {< y, 1, 0, 0 >: yε Y}
(12) 1N = {< y, 1, 0, 1 >: yε Y}
(13) 1N = {< y, 1, 1, 0 >: yε Y}
(14) 1N = {< y, 1, 1, 1 >: yε Y}

Definición 2.5 Sea B = < μB, ơB, γB > un conjunto NS sobre Y, el complemento del conjunto B (C(B)) se define de las siguientes maneras:

(C1) C (B) = {< y, 1 - μB(y), 1 - ơB(y), 1 - γB(y)>: y ε Y}
(C2) C (B) = {< y, γB(y), ơB(y), μB (y)>: y ε Y}
(C3) C (B) = {< y, γB(y), 1 - ơB(y), μB (y)>: y εY}

Teniendo en cuenta la definición 2.5, podemos definir varias relaciones y operaciones entre los conjuntos NSs de la siguiente manera:

Definición 2.6 Sea y be un no vacío, y sean B y D conjuntos neutrosóficos de la forma B = {< y, μB(y), ơB(y), γB(y) >: y ε Y} y D = {< y, μD(y), ơD(y), εD(y) >: y ε Y}. Entonces, podemos considerar los siguientes enunciados para definir la noción de subconjuntos (B ⸦ D):

(1) B ⸦ D ↔ μB(y) ≤ μD(y), ơB(y) ≤ ơD(y) y γB(y) ≥ ơD(y) Ɐ y ε Y

(2) B ⸦ D ↔ μB(y) ≤ μD(y), ơB(y) ≥ ơD(y) y γB(y) ≥ γD(y) Ɐ y ε Y

Proposición 2.7 Para cualquier conjunto neutrosófico B, los siguientes enunciados se satisfacen:

(1) 0N ⸦ B, 0N ⸦ 0N
(2) B ⸦ 1N, 1N ⸦ 1N

Definición 2.8 Sea Y un conjunto no vacío, y sean B= < y, μB(y), ơB(y), γB(y) >, D = < y, μD(y), ơD(y), γD(y)> conjuntos NSs. Entonces,

Podemos generalizar fácilmente las operaciones de intersección y unión en la Definición 2.8 a una familia arbitraria de NS de la siguiente manera:

Definición 2.9 Sea {Bj : j ε J} una familia arbitraria de conjuntos NS en Y, entonces

Proposición 2.10 Para todo conjunto neutrosófico B y D, los siguientes enunciados se satisfacen:

(1) C (B ∩ D) = C (B) ∩ C (D)
(2) C (B ∩ D) = C (B) ∩ C (D).

Aquí extendemos los conceptos de espacio topológico difuso (Chang, 1968) y espacio topológico difuso intuicionista (Coker, 1997) y al caso de los conjuntos neutrosóficos (Smarandache, 2002):

Definición 2.11 La topología neutrosófica (NT) de un conjunto Y es una familia τ de subconjuntos neutrosóficos en X que satisfacen las siguientes condiciones:

(NT1) 0N, 1Nε τ,
(NT2) W1 ∩ W2ε τ para cualquier W1, W2ε τ,
(NT3) U Wiε τ para todo {Wi: i ε J} ⸦ τ

En este caso, el par (Y,τ) es un espacio topológico neutrosófico (NTS). Los elementos de τ son llamados conjuntos abiertos neutrosóficos (NOS). Por otro lado, un conjunto neutrosófico E es cerrado si y solo C(E) es un conjunto neutrosófico abierto.

Ejemplo 2.12 Cualquier espacio topológico difuso (Y, τ0) en el sentido de Chang es un NTS de la forma τ = {B: μB ε τ0} dondequiera que se identifique un conjunto difuso en Y cuya función de pertenencia es μB con sus contrapartes.

Observación 2.13 Los espacios topológicos neutrosóficos son generalizaciones muy naturales de los espacios topológicos difusos que permiten que funciones más generales sean miembros de la topología difusa.

Ejemplo 2.14 Sea Y = {y} y

P = {< y, 0.5, 0.5, 0.4 >: y ε Y}
L = {< x, 0.4, 0.6, 0.8 >: y ε Y}
M = {< x, 0.5, 0.6, 0.4 >: y ε Y}
N = {< x, 0.4, 0.5, 0.8 >: y ε Y}

Entonces, la familia τ = {0N, P, L, M, N, 1N} de NS en Y es una neutrosófica topología sobre Y.

Definición 2.15 El complemento de B (C(B)) de NOS es un conjunto neutrosófico cerrado NCSen Y.

Ahora, definimos la clausura neutrosófica y el interior neutrosófico en los espacios topológicos neutrosóficos:

3. Conjuntos neutrosóficos *b-abiertos en espacios topológicos neutrosóficos

En esta sección, se introduce la noción del conjunto neutrosófico *b-abierto y también se discuten sus propiedades y caracterizaciones.

Definición 3.1 Sea B un NS de un NTS Y. Entonces, B es un conjunto neutrosófico *b-abierto (N*bO) de Y si B ⸦ NCl (B)∩NInt (B). El complemento de un conjunto neutrosófico *b-abierto es un conjunto neutrosófico *b-cerrado y se denotará como N*bC.

El siguiente teorema es una caracterización de los conjuntos N*bO en NTS.

Teorema 3.2 Sea (Y,τ) un NTS. Entonces, la unión de dos conjuntos N*bO es un conjunto N*bO en NTS Y.

Teorema 3.3 Sea (Y, τ) un NTS. Si {Bꟹ}ꟹε∆ es una colección de conjuntos N*bO en un NTS Y. Entonces, Uꟹε∆ Bꟹ es N*bO en Y.

Demostración: La demostración se sigue directamente del teorema 3.2.

Observación 3.4 La intersección de dos N*bOno necesariamente es un conjunto N*bO en Y como se puede ver en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.5 Sea Y = {q, w} y

P = < (0.4, 0.1, 0.8), (0.3, 0.2, 0.5) >
F = < (0.5, 0.1, 0.8), (0.2, 0.4, 0.1) >
G = < (0.7, 0.5, 0.1), (0.6, 0.6, 0.1) >
H = < (0.9, 0.2, 0.7), (0.5, 0.5, 0.5) >

Entonces τ = {0N, P, F, G, H, 1N} es NTS sobre Y. Ahora, definamos los siguientes conjuntos N*bOde la siguiente manera:

P1 = < (0.4, 0.6, 0.4), (0.8, 0.3, 0.4) > y P2 = < (1, 0.9, 0.2), (0.5, 0.7, 0) >. Podemos ver que P1 ∩ P2 = <(0.4, 0.6, 0.4), (0.5, 0.3, 0.4) > no es un conjunto N*bO en Y.

Teorema 3.6 Todo conjunto neutrosófico abierto en NTS Y es un conjunto N*bO en Y.

Demostración: La demostración se sigue teniendo en cuenta la definición de N*bO.

Observación 3.7 El reciproco del teorema anterior no se cumple de manera general como se puede ver en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.8 Sea Y = {q, w, e} con τ = {0N, P, O, 1N}. Algunos de los conjuntos N*bO de (Y,τ son:

P = <(0.4, 0.5, 0.2), (0.3, 0.2, 0.1), (0.9, 0.6, 0.8)>
O = <(0.2, 0.4, 0.5), (0.1, 0.1, 0.2), (0.6, 0.5, 0.8)>
Q = <(0.5, 0.6, 0.1), (0.4, 0.3, 0.1), (0.9, 0.8, 0.5)>
S = <(0.3, 0.5, 0.4), (0.1, 0.6, 0.2), (0.7, 0.5, 0.8)>
F = <(0.5, 0.6, 0.1), (0.4, 0.6, 0.1), (0.9, 0.8, 0.5)>
G = <(0.3, 0.5, 0.4), (0.1, 0.3, 0.2), (0.7, 0.5, 0.8)>
J = <(0.4, 0.5, 0.2), (0.3, 0.6, 0.1), (0.9, 0.6, 0.8)>
L = <(0.3, 0.5, 0.4), (0.1, 0.2, 0.2), (0.7, 0.5, 0.8)>
M = <(0.4, 0.5, 0.2), (0.3, 0.3, 0.1), (0.9, 0.6, 0.8)>
N = <(0.3, 0.5, 0.4), (0.1, 0.2, 0.2), (0.7, 0.5, 0.8)>

Ahora, Q, S, F, G, J, L, M y N son conjuntos N*bO, pero no son conjuntos neutrosóficos abiertos.

4. Conjuntos neutrosóficos *b-cerrados en espacios topológicos neutrosóficos

En esta sección, se introduce la noción de conjunto neutrosófico *b-cerrado y se estudian sus propiedades.

Teorema 4.1 Un subconjunto B en un NTS Y es un conjunto NCS si y solo si NInt (NCl (B)) U Cl (NInt (B)) ⸦ B.

Demostración: La demostración se sigue directamente de la definición 3.1.

Proposición 4.2 Sea (Y, τ) un NTS y B un subconjunto neutrosófico de Y. Entonces, B es un conjunto N*bC si y solo si C (B) es un conjunto N*bO en Y.

Teorema 4.3 Sea (Y, τ) un NTS. Entonces, la intersección de dos N*bC es un conjunto N*bC en la NTS Y.

Demostración: La demostración se sigue directamente del teorema 3.2 y aplicando las leyes D’ Morgan.

Teorema 4.5 Sea {Bꟹ}ꟹε∆ una colección de conjuntos N*bC en un NTS Y. Entonces, ∩ꟹε∆ Bꟹ es un conjunto N*bC en Y.

Demostración: La demostración se sigue directamente del teorema 4.3.

Observación 4.6 La unión de dos conjuntos N*bC no necesariamente es un conjunto N*bC en Y como se puede ver en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4.7 Sea Y = {1} y

Q= < (1, 0.5, 0.7) >
W = < (0, 0.6, 0.2) >
E = < (1, 0.9, 0.2) >
R = < (0, 0.3, 0.7) >

Entonces τ = {0N, Q, W, E, R, 1N} es un NTS sobre Y. Ahora, definamos los siguientes conjuntos N*bC como P1 = < (0.4, 0.5, 1) > y P2 = < (0.2, 0, 0.8) >. Podemos ver que P1 U P2 = < (0.4, 0.5, 0.8) > no es un conjunto N*bC en Y.

Teorema 4.8 Todo conjunto neutrosófico cerrado en la NTS X es un conjunto N*bC en Y.

Demostración: La demostración se sigue directamente de las definiciones.

Observación 4.9 El reciproco del teorema anterior no se cumple de manera general como se puede ver en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4.10 Sea Y = {q, w, e} con τ = {0N, Q, W, 1N} y C (τ) = {1N, E, R, 0N} donde

Q = <(0.5, 0.5, 0.3), (0.1, 0.1, 0.9), (1, 0.9, 0.4)>

W = <(0, 0.3, 0.1), (0.1, 0.4, 0.9), (0.5, 0.8, 0.8)>

E = <(0.3, 0.1, 0.5), (0.9, 0.5, 0.1), (0.4, 0.9, 1)>

R = <(0.7, 0.7, 0), (0.9, 0.4, 0.1), (0.8, 0.2, 0.5)>

T = <(0.2, 0.6, 0.9), (0, 0.9, 0.9), (0.3, 0.1, 1)>.

Aquí, los conjuntos N*bC son E, R y T. Además, T es un conjunto N*bC pero no es un conjunto neutrosófico cerrado.

5. *b-interior y *b-clausura es espacios topológicos neutrosóficos

En esta sección, presentamos los operadores neutrosóficos *b-interior y *b-clausura y sus propiedades en un espacio topológico neutrosófico.

Definición 5.1 Sea (Y, τ) un NTS. Entonces, para un subconjunto neutrosófico A de Y, neutrosófico *b-interior de B (N*b Int (B)) es la unión de todos los conjuntos neutrosóficos *b-abiertos de Y contenidos en B. Es decir, N*b Int (B) = U {W: W es un conjunto N*bO en Y y W ⸦ B}

Proposición 5.2 Sea (Y, τ) un NTS. Entonces, para cualquieras conjuntos neutrosóficos B y D de un NTS Y. Entonces, los siguientes enunciados se satisfacen:

Teorema 5.3 Sea (Y, τ) un NTS. Entonces, para cualquieras conjuntos neutrosóficos B y D de un NTS, los siguientes enunciados se satisfacen:

El siguiente ejemplo muestra que la igualdad en el teorema 5.3 no necesariamente es verdadera.

Ejemplo 5.4 Sea X = {q, w, e} y τ = { 0N, Q, W, E, R, 1N } donde

Q = <(0.4, 0.7, 0.1), (0.5, 0.6, 0.2), (0.9, 0.7, 0.3)>,
W = <(0.4, 0.6, 0.1), (0.7, 0.7, 0.2), (0.9, 0.5, 0.1)>,
E = <(0.4, 0.7, 0.1), (0.7, 0.7, 0.2), (0.9, 0.7, 0.1)>,
R = <(0.4, 0.6, 0.1), (0.5, 0.6, 0.2), (0.9, 0.5, 0.3)>.

Definición 5.5 Sea (Y, τ) un NTS. Entonces, para cualquier subconjunto neutrosófico B de Y, neutrosófica *b-clausura de B (N*bCl (B)) es la intersección de todos los conjuntos neutrosóficos *b-cerrados de Y contenidos en B. Es decir, N*b Cl (B) = ∩ {W: W es un conjunto neutrosófico N*b C en Y y W ⸧ B}.

Proposición 5.6 Sea (Y, τ) un NTS. Entonces, para cualquier subconjunto neutrosófico B de Y, los siguientes enunciados se satisfacen:

(i) C (N*b Int (B)) = N*b Cl (C (B)),
(ii) C (N*b Cl (B)) = N*b Int (C (B)).

Demostración:

Proposición 5.7 Sea (Y, τ) un NTS. Entonces, para cualquieras subconjuntos neutrosóficos B y Dde un NTS Y. Entonces, los siguientes enunciados se satisfacen:

Demostración:

Proposición 5.8 Sea (Y, τ) un NTS. Entonces, para cualquieras subconjuntos neutrosóficos B y D de un NTS Y. Entonces, los siguientes enunciados se satisfacen:

Demostración:

El siguiente ejemplo muestra que la igualdad de la proposición 5.8 no se satisface generalmente.

Ejemplo 6.6 Sea Y = {a, b, c} con τ = {0N, A, B, C, D, 1N} y C (τ) = {1N, E, F, G, H, 0N} donde

A = <(0.5, 0.6, 0.1), (0.6, 0.7, 0.1), (0.9, 0.5, 0.2)>
B = <(0.4, 0.5, 0.2), (0.8, 0.6, 0.3), (0.9, 0.7, 0.3)>
C = <(0.4, 0.5, 0.2), (0.6, 0.6, 0.3), (0.9, 0.5, 0.3)>
D = <(0.5, 0.6, 0.1), (0.8, 0.7, 0.1), (0.9, 0.7, 0.2)>
E = <(0.1, 0.4, 0.5), (0.1, 0.3, 0.6), (0.2, 0.5, 0.9)>,
F = <(0.2, 0.5, 0.4), (0.3, 0.4, 0.8), (0.3, 0.3, 0.9)>,
G = <(0.2, 0.5, 0.4), (0.3, 0.4, 0.6), (0.3, 0.5, 0.9)>,
H = <(0.1, 0.4, 0.5), (0.1, 0.3, 0.8), (0.2, 0.3, 0.9)>.

Entonces (Y, τ) es un NTS. Ahora considere los N*bs

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Conclusión

En este artículo se ha introducido la noción de conjuntos neutrosóficos *b-abiertos en espacios topológicos neutrosóficos. Las nociones aquí presentadas se pueden generalizar en diferentes ramas de los conjuntos neutrosóficos. Adicionalmente, se pueden encontrar algunas relaciones entre conjuntos abiertos neutrosóficos definidos en la literatura.

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Referencias

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