https://doi.org/10.22463/25909215.1758
Recibido: Agosto 20, 2018; Aceptado: Noviembre 01, 2018
El entendimiento y comprensión de los conceptos matemáticos, específicamente de aquellos que se orientan en la educación media y superior, como es el caso del límite y continuidad, es considerado uno de los mayores retos educativos para los estudiantes de hoy en día, quienes tienen una concepción muy limitada acerca del concepto, tras ser vista solamente desde su representación algebraica y lenguaje abstracto. Siendo así, el siguiente artículo de investigación tiene como objetivo principal responder a esa necesidad educativa, por medio de un diseño de secuencias didácticas sobre el concepto de límite y continuidad, en el que está comprendido los cuatro tipos de representación matemática (numérico, algebraico, gráfico y comunicativo) desarrollado por Duval; el cual, a su vez, se estructuro con base en unos objetivos específicos, fundamentados en la metodología de la ingeniería didáctica. De este modo, se valoró la coherencia lógica en la comprensión del concepto, que estudiantes de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad Francisco de Paula Santander manifestaban durante el desarrollo de las actividades, además de destacar las falencias y fortalezas en la construcción del mismo.
Palabras clave:Aprendizaje, Continuidad, Ingeniería didáctica, Límite, Secuencias didácticas.
The understanding and comprehension of mathematical concepts, specifically those that are oriented in secondary and higher education, as is the case of limit and continuity, is considered one of the greatest educational challenges for today’s students, who have a very limited conception about the concept, after being seen only from its algebraic representation and abstract language. Thus, the following research article has as its main objective to respond to this educational need, by means of a design of didactic sequences on the concept of limit and continuity, which includes the four types of mathematical representation (numerical, algebraic, graphic and communicative) developed by Duval; which, in turn, was structured based on specific objectives, based on the methodology of didactic engineering. In this way, the logical coherence in the understanding of the concept, which students of the Mathematics Degree of the Francisco de Paula Santander University showed during the development of the activities, as well as highlighting the weaknesses and strengths in the construction of the same, was valued.
Keywords:Apprenticeship, Continuity, Didactic Engineering, Limit, Didactic sequences.
A compreensão e compreensão dos conceitos matemáticos, especificamente aqueles que são orientados no ensino médio e superior, como é o caso do limite e da continuidade, é considerada um dos maiores desafios educacionais para os estudantes de hoje, que têm uma concepção muito limitada sobre o conceito, após serem vistos apenas a partir de sua representação algébrica e linguagem abstrata. Assim, o artigo de pesquisa a seguir tem como principal objetivo responder a essa necessidade educacional, por meio de um desenho de sequências didáticas sobre o conceito de limite e continuidade, que inclui os quatro tipos de representação matemática (numérica, algébrica, gráfica e comunicativa) desenvolvidos por Duval; que, por sua vez, foi estruturada com base em objetivos específicos, baseados na metodologia da engenharia didática. Desta forma, foi valorizada a coerência lógica na compreensão do conceito, que os alunos do curso de Matemática da Universidade Francisco de Paula Santander demonstraram durante o desenvolvimento das atividades, além de destacar os pontos fracos e fortes na construção das mesmas.
Palavras-chave:Aprendizagem, Continuidade, Engenharia Didática, Limite, Sequências didácticas.
La comprensión y dominio del concepto del límite y continuidad es uno de los focos centrales de estudio en la comunidad científica desde tiempos remotos, una de las razones es porque resulta ser un conocimiento necesario para la asimilación de los contenidos que abarca el cálculo diferencial e integral y la segunda razón que motiva su investigación es la dificultad existente durante su proceso de aprendizaje. Siendo así, Radillo Enríquez y González Rendón (2014) señalan que las metodologías de enseñanza dedicadas al aprendizaje de conceptos matemáticos específicamente en el del límite establecen una visión reducida del concepto, al enseñar el mismo a partir de ejercicios mecánicos que funcionan en la importancia de operaciones algebraicas. Además, Cornu, (1983) y Bouazzoui (1988) citado en (Sánchez Gómez y Contreras De La Fuente,1998) y (Quevedo, 2018) afirman que los obstáculos de origen epistemológico son propios del concepto matemático, durante su proceso de construcción, pero, a su vez estos influyen en las dificultades de aprendizaje y concepciones erróneas. Conforme a lo dicho, Medina (2001) señala que el estudio de las diferentes concepciones a través de la historia de cualquier concepto, en este caso, del límite, es muy importante para la comprensión del tema, en el cual se aprecian diferentes aplicaciones que se le han dado a través del tiempo; y sirve de introducción para el desarrollo del pensamiento variacional del cálculo. Además, Duval (1998) citado en (Volveras Espinosa, 2015) expresa que
“la formación de conceptos implica una coordinación de sistemas de representaciones, esta se logra articulando entre diferentes registros. Entendemos por representaciones, diferentes notaciones, ya sean gráficas, simbólicas, así como expresiones verbales. Estas representaciones se agrupan en registros. Por ejemplo, el registro gráfico o el registro numérico. Entonces un reto importante en el aprendizaje de la matemática no puede ser, solamente, la automatización de ciertas técnicas operatorias, sino que debe ser también, la coordinación de los diferentes sistemas de representación”.
De acuerdo con lo anterior es importante resaltar la preocupación que manifiesta los investigadores en didáctica de la matemática en entender los obstáculos que surgen durante la enseñanza y el aprendizaje del límite, el cual es uno de los conceptos principales que se da dentro de la asignatura de cálculo diferencial y el mismo abarca temáticas sobre problemas de economía, administración, natural y social. Siendo así, se destaca a Vrancken, Gregorini, Engler, Müller y Hecklein, (2006) los cuales llevan a cabo un estudio basado en la metodología de la ingeniería didáctica y representaciones semióticas de Duval, con el objetivo de hallar las dificultades relacionadas al concepto de limite que presentan los estudiantes de educación superior, llegando a la conclusión que las dificultades presentes en el tema se debe a concepciones erróneas de los conceptos previos como en las funciones y la factorización. Por otro lado Blázquez , Ortega , Gatica y Benegas, (2006)en su objetivo de comparar el nivel de complejidad entre la concepción métrica y aproximación optima del límite a través de una revisión histórica del concepto concluyen que para los estudiantes la conceptualización del límite como aproximación óptima para explicar los teoremas es más útil, puesto que sus demostraciones son más sencillas, más intuitivas (numéricas - algebraicas) aunque carecen de formalidad como es en el caso de la apreciación métrica del concepto. Además, Sierra Vázquez, González Astudillo y López Esteban (2000) en su objetivo conocer las concepciones de los estudiantes alrededor de tema de límites, concluye que existe una gran diversidad y esta es consecuencia de la evolución epistemológica del concepto a nivel geométrico, aritmético, algebraico, funcional y topológico; en un segundo lugar encontró tras realizar un cuestionario, que los estudiantes presentan dificultades en las representaciones semióticas del concepto siguiendo un nivel de complejidad que trasciende en las representaciones tabular, gráfica y algebraica. Las conclusiones de cada una de esta investigación se fortalecen en las medidas en que trabajos como los realizados por (Morales et al., 2013 y Sierra et al., 2000) recalcan las mismas dificultades y errores en cuanto al concepto de límite.
Como consecuencia del panorama descrito consideramos la importancia de generar un material didáctico que fortalezca la comprensión del concepto desde sus diferentes perspectivas y representaciones, como lo manifiesta Sierpinska (1990) citado en (Volveras Espinosa, 2015) Quien plantea que para haiga un aprendizaje significativo este debe ser modelizado a partir de secuencias de comprensión y superación de errores. De esta manera, La teoría que sustenta este trabajo de investigación es la Teoría de Situaciones Didácticas de Duval y la metodología a usar es la Ingeniería Didáctica; ya que la articulación de ambas considera el tener en cuenta aspectos importantes para el cumplimiento del objetivo y simultáneamente para la construcción del concepto.
2. Materiales y métodosComo se había descrito anteriormente la metodología en la cual se basa la investigación y a la que más se ajusta es la denominada ingeniería didáctica, la cual se centra en organizar un análisis general de conceptos que necesitan ser estudiados desde una perspectiva científica con la finalidad de responder a necesidades educativas; como lo expresa Douady (1995) citado en Montiel y Navarro (2015) una ingeniera didáctica, es un conjunto de secuencias de clase diseñadas, organizadas y articuladas coherentemente por un “profesor-ingeniero”, para lograr el aprendizaje de cierto conocimiento en un grupo de alumnos específico. Siguiendo este orden de ideas la ID está conformada por cuatro fases:
1) Fase 1 Análisis preliminar; la cual hace referencia
en primer lugar al análisis epistemológico de los
contenidos contemplados en la enseñanza y de manera
simultánea al análisis de las metodologías de enseñanza
y concepciones de los estudiantes.
2) Fase 2 Concepción y análisis a priori de la ingeniera
didáctica; la cual establece el análisis de las
variables que intervienen en la investigación; en este
caso todas las variables relacionadas con la enseñanza
y aprendizaje del concepto de limite.
3) Fase 3 Experimentación; relacionado con el diseño
del material didáctico.
4) Fase 4 Análisis a posteriori y evaluación; que
hace referencia al análisis de resultados.
Bajo estas consideraciones, la presente investigación expone la realización de las fases en el siguiente orden de ideas. De acuerdo con la primera fase se presenta un análisis epistemológico del concepto, seguido de un bosquejo general acerca de la presentación institucional que ha tenido el tema de límites por medio de una de las herramientas más utilizadas por los docentes que es el libro, para posteriormente finalizar con una descripción breve sobre las dificultades generales que presentan los estudiantes según autores reconocidos como Cornu y Sierpinska. En segundo lugar, en el análisis a priori se llevó a cabo un rastreo de tipo documental derivado de un estado del arte alrededor del concepto de límite, el cual tenía como objetivo identificar los tipos de investigación, las falencias y potencialidades conforme al concepto de límites, además, se tuvo en cuenta otros trabajos investigativos procedentes de diferentes bases de datos; en la tercera fase de experimentación se orienta la realización de una secuencias didácticas previamente desarrolladas bajo la consideración de los resultados obtenidos en los dos primeras fases. Y para finalizar, la cuarta fase consiste en un análisis de resultados obtenidos mediante una evaluación. La población sujeta a este trabajo de investigación fueron 27 docentes en formación que cursaban la asignatura de Calculo Diferencial, en el programa académico de licenciatura en matemáticas de la Universidad Francisco de Paula Santander (UFPS) durante el primer semestre del año 2018.
Análisis preliminar
Análisis epistemológico del concepto
La evolución del concepto de limite se presenta como una secuencia de modificaciones que son el resultado de su compresión desde diferentes perspectivas o categorías (geométrica, numérica, funcional, algebraica, topológica), siendo así, a continuación, se presenta una descripción histórica de las diversas concepciones a las que se orientó el concepto de límite y que fueron necesarias para la construcción formal del mismo, teniendo como base los trabajos realizados por Espíritu Montiel y Navarro (2015), Quevedo (2018); Volveras Espinosa (2015) y Medina (2001). (Tabla 1)
Análisis del desarrollo del concepto límite en libros institucionales
Con este tipo de análisis lo que se pretende es conocer cómo se desarrolla el concepto en un nivel institucional, tomando como referencia los libros dado que es la herramienta más utilizada y cercana con la que cuenta el profesor para la enseñanza y el estudiante para su aprendizaje del concepto de límite en particular. siendo así, para este análisis se tuvo en cuenta el estudio realizado por (Artigue, Douady y Moreno, 1995). (Tabla 2)
Análisis de dificultades o errores espitemológicos según Cornu (1991) y Sierpinska (1985)
En este último paso del análisis preliminar lo que se pretende es realizar un descripción sobre las dificultades en el aprendizaje de limite que está directamente relacionado con la evaluación epistemológica del concepto tomando como referencias los trabajos realizados por Quevedo (2018) y Sánchez Gómez y Contreras De La Fuente (1998), siendo así, en un primer lugar se halla que la concepción de limites por medios geométricos genera la facilidad de desarrollar problemas de ares y volumen en los que interviene intuitivamente procesos infinitos, pero la dificultad se presenta en el momento de comprender el proceso bajo un carácter numérico o algebraico (hallando aquí la dificultad de pasar de un registro grafico a un registro numérico); en un segundo lugar están los obstáculos referente a lo infinitamente pequeño o infinitamente grande en la noción limite funcional, el cual hace creer que ambas variables toman el valor de infinito) y por ultimo está el obstáculo relacionado con el alcance o no del límite, que en si son dificultades relacionadas con aspectos geométricos y topológicos al creer que ε y δ pueden representar magnitudes o variables.
Análisis a priori
En el análisis a priori se tuvo en cuenta un rastreo de tipo documental derivado de un estado del arte alrededor del concepto de límite, además, de otros trabajos investigativos procedentes de diferentes bases de datos; los cuales dan información acerca de las diferentes metodologías que se han aplicado para la enseñanza del concepto y las falencias de los estudiantes durante su proceso de aprendizaje. (Tabla 3)
Teniendo en cuenta el análisis epistemológico entorno a la evolución del concepto de limite y el rastreo de antecedentes investigativos relacionados con el mismo, en donde se tuvieron en cuenta los objetivos principales y los resultados que permitían reconocer las dificultades presentes en el aprendizaje. Partiendo de lo anterior se diseñaron y aplicaron secuencias didácticas utilizando diferentes representaciones semióticas (grafica, algebraica, tabular y lenguaje natural), con el fin fortalecer las falencias encontradas en la aprehensión del concepto. Finalizada la aplicación de las secuencias, se estableció una prueba para caracterizar las concepciones presentes en 29 estudiantes de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad Francisco de Paula Santander en el I semestre del 2018.
3.1 prueba de conocimientos : se plantearon ocho ejercicios para determinar el nivel de desempeño de los estudiantes en la compresión del concepto de límite en sus diferentes representaciones. A continuación, se muestra en la tabla 4 la representación utilizada en cada ejercicio. (Tabla 4)
3.1.1 Selección de ejercicioslos estudiantes debían elegir cuatro ejercicios de los siete propuestos, de modo que pudieran escoger aquellos que creían tener mayor probabilidad de solucionar. En la Figura 1 se muestra la elección de los estudiantes. (Figura 1)
Niveles de desempeño obtenidos en cada ejercicio Para el análisis de los desempeños obtenidos por los estudiantes en cada uno de los ejercicios, se tuvieron en cuenta las siguientes escalas cuantitativas presentes en la tabla 5.(Tabla 5)
A continuación, se muestra en la tabla 6 el desempeño obtenido por los estudiantes en la prueba aplicada. Para la elaboración de tabla se tuvo en cuenta la frecuencia de selección de las preguntas y la escala de desempeño para la sistematización de la información. (Tabla 6)
3.1.3 Especificación de los ejercicios planteados en la prueba Para la exposición de las actividades planteadas se tendrán en cuenta: objetivo de aprendizaje, comentario de la resolución de algunos estudiantes, según las dificultades y fortalezas presentadas. El primer punto tenía como objetivo principal reconocer si los estudiantes comprendían el concepto de límite, esto les permitiría representar el concepto a través del lenguaje natural y gráfico.
1. Represente gráficamente dos situaciones, una en donde existe límite de una función en un punto cualquiera y otro, en donde dicho límite no exista, argumentado cada respuesta. (Figura 2) y (Figura 3)
Con base en los resultados generales de la Tabla 6 se muestra que el 77% de los estudiantes tuvieron un desempeño alto en la resolución del primer punto de la prueba, por lo que se puede inferir que los educandos tienen una excelente comprensión del concepto de límite, además que tienen la capacidad de utilizar el lenguaje natural y gráfico de manera correcta, esto se puede evidenciar en las Figuras 2 y 3 mostradas anteriormente. El segundo ejercicio tenía como objetivo identificar si los estudiantes podían hallar el límite de una función por partes, por medio de las representaciones semióticas (tabular, gráfico o algebraico), se podía hacer con un solo registro.
Partiendo de la Figura 4 y 5, se puede inferir que los estudiantes no tienen la habilidad de hallar el límite de una función por partes porque no saben aplicar las restricciones del dominio en cada función dada, esto les impide evaluar la función en cualquiera de las tres representaciones semióticas. Lo anterior argumenta lo presentado en la Tabla 6, la cual nos muestra que el 44% de los estudiantes tuvieron un nivel de desempeño bajo. El tercer ejercicio tenía como objetivo reconocer si lo estudiantes podían deducir una función por partes a partir de su gráfica representada en la figura 6, además de determinar los límites marcados a través de los puntos A, B, D y E, es decir pasar de la representación gráfica a la tabular y algebraica.
Las figuras 6 y 7 mostradas a continuación demuestran una aprehensión en el concepto de límite ya que pueden pasar de una representación semiótica a otra sin ningún problema, además de lograr determinar la función(es) representadas en la gráfica. Lo anterior se puede evidenciar en la Tabla 3 donde se muestra que el 67% de los estudiantes que eligieron la pregunta poseen un nivel alto en la resolución de este tipo de problemas. (Figura 6) y (Figura 7)
El cuarto ejercicio tenía como objetivo reconocer si los estudiantes tenían la capacidad de utilizar el lenguaje natural para definir los conceptos de asíntota vertical, horizontal, no existencia de límite y límites que tienden al infinito.
4. Exprese con sus propias palabras ¿Qué es una asíntota vertical? y ¿Qué es una asíntota horizontal? y ¿Cuál es su relación con los conceptos de no existencia de límites o de límites que tienden al infinito?
La Figura nos muestra que los estudiantes tienen noción de los conceptos, pero no logran expresarse con claridad, demostrando el no manejo del lenguaje natural matemático, por tal motivo el 88% de los estudiantes que seleccionaron esta pregunta tuvieron un nivel de desempeño medio, es decir no lograron completamente el objetivo planteado. (Figura 8)
El quinto ejercicio tenía como objetivo identificar si los estudiantes sabían calcular el límite de manera algebraica y utilizar propiedades para hallar los mismos.
En la figura 9 se muestra que los estudiantes reconocen cuando un límite es indeterminado, pero no hacen uso de las diferentes propiedades existentes para calcular el límite, además del no manejo de los casos de factorización. Lo anterior demuestra las debilidades que tienen los estudiantes para determinar los límites a través de la representación algebraica, a pesar de que esta es la representación tradicional usualmente utilizada en el aprendizaje de las matemáticas, asimismo, demuestra lo obtenido en la Tabla 3 en donde se decía que el 54% de los estudiantes se encontraban en un nivel de desempeño bajo. (Figura 9)
El sexto ejercicio tenía como objetivo reconocer si los estudiantes comprenden y aplican los conceptos de discontinuidad no evitable, asíntota y función creciente, asimismo que tengan la capacidad de representarlos de manera gráfica.
6.Construir una gráfica que satisfaga las siguientes condiciones: a. discontinuidad no evitable en x=3; b. con asíntota horizontal en y=-2; c. pasa por los puntos (2,0) y (-1,-1); d. creciente en el intervalo (-∞,3). (Figura 10)
Al observar la Figura 10 se evidencia las falencias de los estudiantes al aplicar los conceptos mencionados anteriormente, a pesar de que en el ejercicio 1 hubo un buen nivel de desempeño en la comprensión del concepto de límite, esto no fue suficiente para que los estudiantes lograran el objetivo del ejercicio 6, al contrario, el 55% de los estudiantes obtuvieron un nivel de desempeño bajo. El séptimo ejercicio tenía como objetivo reconocer si los estudiantes comprendían los conceptos de discontinuidad removible y no removible, a través de la representación gráfica o algebraica.
7.Utilizando los registros gráfico y algebraico, represente las discontinuidades removibles y no removible. (Figura 11) y (Figura 12)
La Tabla 6 muestra que el 83% de los estudiantes que eligieron el ejercicio 7 tuvieron un nivel de desempeño alto, es decir alcanzaron los obtuvieron planteados, esto se puede observar en las Figuras 11 y 12 en donde se representó el concepto de discontinuidad removible y no removible a través de gráficas.
4. ConclusionesLa enseñanza del concepto de límite es comúnmente abordada a través de la representación algebraica, dejando de lado los diferentes registros que se puede utilizar para tener mayor comprensión del concepto. Lo anterior ha ocasionado lagunas cognitivas por parte de los estudiantes, los cuales no tienen la capacidad de comprender el concepto de manera adecuada ya que solo conocen una manera de representarla. Con base en lo anterior, se expone la importancia que tuvo la aplicación de las secuencias didácticas para fortalecer y desarrollar los conocimientos de los estudiantes alrededor del concepto de límite, a través de las diferentes representaciones semióticas (lenguaje natural, grafico, tabular y algebraico). Los resultados muestran que el uso de diferentes representaciones para la resolución de problemas permite un mejor desempeño, lo anterior se evidencia en los ejercicios 1, 3 y 7 en donde, más del 65% de los estudiantes lograron tener un nivel de desempeño alto. En cambio, aquellos ejercicios en donde se utilizaba un solo registro, se evidencio que más del 80% de los estudiantes se encuentran entre el nivel de desempeño bajo y medio.
Por otro lado, se destacan los resultados obtenidos en el ejercicio 1, dado que el 77% de los estudiantes lograron representar y argumentar situaciones en donde se debía utilizar el concepto de límite, asimismo los resultados del ejercicio 7 en donde el 83% logro representar el concepto de discontinuidad removible y no removible. Finalmente, los resultados de la aplicación de la pruebe permitirán al investigador reflexionar sobre ¿Cuáles son los cambios que se deben hacer en las secuencias didácticas para lograr que los estudiantes tengan un nivel de desempeño alto en el uso de cualquier representación semiótica? Se podría decir que la representación mayor dificultad fue la algebraica por lo que se recomienda reforzar el uso de este registro.
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cómo citar:
Trujillo, J. A., Vera, C. L. & Sosa, D. F. (2019). Ingeniería didáctica como recurso metodológico para el aprendizaje de los conceptos de límite y
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a* Estudiante de pregrado en Licenciatura en Matemáticas , correo: jhoanaalexandratc@ufps.edu.co ORCID 0000-0001-5426-2311 :
Universidad Francisco de Paula Santander, Cúcuta, Colombia.
b Estudiante de pregrado en Licenciatura en Matemáticas n, correo: charenlissetvg@ufps.edu.co
ORCID 0000-0002-6400-0275 : Universidad Francisco de Paula Santander, Cúcuta, Colombia.
c Estudiante de pregrado en Licenciatura en Matemáticas , correo:dilanfabianss@ufps.edu.co ,ORCID 0000-0001-7469-9748: Universidad Francisco de Paula Santander, Cúcuta, Colombia.
