https://doi.org/10.22463/2011642X.2391
Recibido: 17 de julio de 2019 - Aprobado: 14 de noviembre de 2019
Como citar:
F. O. Díaz & F. J. Regino, “Desarrollo de una estrategia de control basado en ADRC, aplicada a un sistema de bola y viga”, Revista Ingenio,
17 (1), pp.16-21 , 2020
Este documento describe el desarrollo de una estrategia de control basada en el rechazo activo de perturbaciones (CRAP), como lo es el Control Proporcional Integral Generalizado (GPI) el cual se le aplica a un sistema Ball and Beam. En esta investigación se pretende mostrar las ventajas de la estrategia de control GPI en cuanto a seguimiento y rechazo se perturbaciones, frente a las técnicas de control clásicas como lo es el controlador proporcional, integral y derivativo (PID). La validación de este diseño parte del modelamiento del sistema realimentado y con dicho modelo se realizaron simulaciones en condiciones nominales, aplicando las dos estrategias de control. Se encontró que el control GPI presentó un mejor desempeño ya que logra un porcentaje de Error cuadrático medio menor al del control PID, aun en presencia de perturbaciones, por lo que es posible afirmar que el error tiende asintóticamente a cero siempre que las ganancias del polinomio del error sean lo suficientemente grandes.
Palabras clave:Control PID, Control Proporcional Integral Generalizado, modelamiento, rechazo de perturbaciones.
This document describes the development of a control strategy based on active disturbance rejection (ADRC), such as Generalized Proportional Integral Control (GPI) which is applied to a Ball and Beam system. In this research, we will show the advantages of the GPI control strategy in terms of tracking and rejection of disturbances, compared to classical control techniques such as is the proportional, integral and derivative controller (PID). The validation of this design is based on the modelling of the feedback system and with this model simulations were carried out under nominal conditions, applying the two control strategies. It was found that the GPI control presented a better performance since it achieves a lower percentage of Mean Square Error than the PID control, even in the presence of perturbations, so it is possible to affirm that the error tends asymptotically to zero as long as the gains of the error polynomial are sufficiently large.
Keywords:PID control, Generalized Proportional Integral Control, modeling, disturbance rejection.
El modelo matemático de este sistema está dado por la ecuación lagrangiana
Donde alfa (α) es el ángulo entre la biga y el eje horizontal. Para el instante en que la bola se encuentra estable en el sistema, se hará una consideración de que =0, por lo que la ecuación queda reducida a:
Luego se realiza una aproximación lineal con la longitud de arco para los dos sistemas de referencia: y θ Donde s1=dθ y s2=L entonces se dice que s1=s2 resultando en la ecuación 3.
Reemplazando la ecuación 3 en la ecuación 2 da como resultado
En donde los datos conocidos se presentan en la tabla 1
Se dice que el sistema es no perturbado para δ(t)≡0 y que este es diferencialmente plano, puesto que es posible expresar todas las variables del sistema, incluyendo u(t), en términos de funciones diferenciales de la salida plana y(t) i.e., funciones de y(t) y un número finito de sus derivadas temporales [15] - [16]. Se supone que la perturbación exógena δ(t), es uniformemente, acotada.
Teniendo en cuenta lo anterior se puede decir que el sistema descrito en la ecuación 4, es diferencialmente plano, ya que se puede expresar de la forma:
Donde δ(t) recoge las perturbaciones externas e internas y también las incertidumbres del sistema propias de las dinámicas no modeladas del mismo, es m-diferenciable y uniformemente acotada i.e
El control GPI se diseña en el marco del “rechazo activo de perturbaciones” [17], e incluye un modelo polinomial en el tiempo de las perturbaciones dependientes del estado y de aquellas que son de carácter exógeno sin estructura especial alguna [18].En la ecuación 8 se muestra la structura del control GPI, en donde K= -mgd/(j/R2 +m)L y la salida x del sistema es la posición de la bola; m es el orden del polinomio con el que se aproxima la perturbación; n es el orden del sistema; Kn+m,…,K1,K0 corresponden las ganancias de dicho polinomio; y r.
Para el caso de estudio, se parte del supuesto que dm+18(t)/dtm+2 =0, para m=4 la estructura del control GPI se puede escribir como:
Reemplazando la ecuación (9) en la ecuación (7) se tiene que:
Luego
Donde (x-r) representa el error de seguimiento e y (x(2)-r (2)) es la segunda derivada del mismo.
Resolviendo la ecuación 12 y aplicando la transformada de Laplace, se obtiene:
Donde (s5δ(t))=0, entonces:
En la ecuación 14 se presenta la dinámica del error e, de esta se puede decir que, si δ(t)(5) se encuentra dentro de sus límites, es decir es una señal acotada, y se eligen los coeficientes Ki, de manera tal que i=1,2,…,7, lleven a las raíces del polinomio característico de la dinámica del error que se muestra en la ecuación 14 al lado izquierdo del plano complejo, haciendo que el error de seguimiento sea delimitado y los limites puede hacerse tan pequeña siempre que se quiera alejar las raíces de este del eje imaginario.
Para probar la estrategia de control aplicada al sistema Ball and Beam, se realizó el modelo en la herramienta Simulink de Matlab como se muestra en la figura 3, inicialmente se evaluó la estrategia de control GPI para diferentes valores de m como se muestra en la figura 4, en esta se puede apreciar que, para valores altos de m como m = 10 el sobrepico de la respuesta transitoria es menor que para valores de m = 2 o m = 4, con las raíces del polinomio de aproximación de la perturbación en un rango de (-1000) a (-5000) se propuso una señal de referencia sinusoidal con un periodo de 20s y una señal tipo paso. Se midió el error de seguimiento con el porcentaje de error cuadrático medio (PECM) y los resultados se compararon con un controlador PID el cual se sintonizó a través de la app PID Tuner de Matlab. En la figura 5 se muestra la señal de salida del sistema (la posición) tratando de seguir a la señal de referencia (la posición deseada) en una trayectoria sinusoidal, al aplicar las estrategias de control GPI y PID, luego se presenta la figura 6 en donde se aprecia la respuesta del sistema ante una señal de tipo escalón unitario
Se seleccionaron ocho polos para el controlador GPI con valores de [-2.0 -2.5 -3.0 -3.5 -4.0 -4.5 -5.0 -5.5]×102, dando como resultado la figura 5 y la figura 6, estos resultados se muestran en la tabla 2
Para el rechazo de perturbaciones, se le sumó una señal tipo paso y una señal sinusoidal de 2Hz a la entrada de la planta a los 10s, y se calculó el porcentaje de error cuadrático medio. La comparación de los resultados se muestra en las figuras 7, 8, 9 y 10; y en la tabla 3 y 4.
De igual forma en la figura 11 se muestra en el eje Y el error cuadrático medio del error de seguimiento y en el eje X las raíces del polinomio del control GPI, en donde se evidencia que a medida que las raíces del polinomio se alejan de cero hacia la izquierda el error de seguimiento tiende a cero.
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*Magister en Ingeniería, Ingeniero Mecánico. Correo: fidiaz005@ikasle.ehu.es
** Magister en Ingeniería, Ingeniero Mecánico. Correo: fjreginou@unal.edu.co