Interpretación didáctica de la teoría de grupos aplicada en cristales Interpretación didáctica de la teoría de grupos aplicada en cristales

Resumen

Resumen

La determinación del Hamiltoniano de una molécula o un cristal puede llegar a ser un problema muy complicado; sin embargo, las consideraciones de simetría sobre el problema pueden llegar a simplificarlo de manera sustancial. Razón por la cual, es pertinente buscar el mayor número de simetrías de un cristal. En este punto, se realza la importancia de la teoría de grupos como herramienta de cálculo, pues a través de ésta, se sintetizan todas las propiedades del cristal: las rotaciones, las inversiones y las reflexiones. Empero, el estudio realizado por muchos libros acerca de esta temática es demasiado confuso y complicado para los estudiantes de Licenciatura en Física, debido a la naturaleza abstracta del método de la teoría, y las relaciones que éste tiene con el Hamiltoniano. Lo anterior, motiva la realización de un estudio didáctico, así como detallado de los principios que rigen el uso del método. Además, se ilustra a través de un ejemplo detallado para el caso de un cristal ortorrómbico, procediendo a establecer los isomorfismos entre el álgebra utilizada en la teoría de grupos y la correspondiente representación de matrices, que permita efectuar la reducción del Hamiltoniano y los cálculos correspondientes.

Palabras clave: Simetría, Hamiltoniano, Teoría de grupos.

Abstract

The determination of the Hamiltonian of a molecule or a crystal can become a very complicated problem. However, considerations of symmetry of the problem may make it simpler. Therefore it is relevant seek the greatest number of symmetries of a crystal. At this point, it highlights the                importance of group theory as a tool for calculation, then, through it synthesizes all of these properties of the crystal, like the rotations, inversions and reflections. However, the study present in many books on this subject is too confusing and complicated for the students of Bachelor in Physics,  because of the abstract nature of theoretical method and the relationship it has with the Hamiltonian. This one motivates the realization of a didactic study, as well as detailed principles governing the use of the method. Also, a detailed example is present for the case of an orthorhombic crystal, proceeding to establish the isomorphism between the algebra used in group theory and the corresponding matrix representation, permitting a reduction in the Hamiltonian and the calculations.

Keywords: Symmetry, Hamiltonian, Group Theory

Resumo

A determinação do Hamiltoniano de uma molécula ou cristal pode se tornar um problema muito complicado; No entanto, considerações de simetria sobre o problema podem simplificá-lo            substancialmente. Pelo que, é pertinente procurar o maior número de simetrias de um cristal. Nesse ponto, enfatiza-se a importância da teoria dos grupos como ferramenta de cálculo, pois através dela todas as propriedades do cristal são sintetizadas: rotações, inversões e reflexões. No entanto, o estudo de muitos livros sobre este assunto é muito confuso e complicado para os estudantes de graduação em Física, por causa da natureza abstrata do método da teoria, e a relação que tem com o  hamiltoniano. O exposto, motiva a realização de um estudo didático, bem como detalha os princípios que regem o uso do método. Além disso, é ilustrada através de um processo detalhado de um cristal ortorrômbico, prosseguir para estabelecer a isomorfismo entre álgebra utilizado na teoria de grupos e a representação correspondente de matrizes, permitindo a redução do exemplo Hamiltoniano e cálculos.

Palabras chave: Simetria, hamiltoniana, teoria dos grupos