Breve argumentación didáctica de la mecánica cuántica de muchos cuerpos Breve argumentación didáctica de la mecánica cuántica de muchos cuerpos

Resumen

El problema general en mecánica cuántica está basado en la solución de una ecuación en valores propios de un operador dado (en una representación adecuada), generalmente  dicho operador es el Hamiltoniano que da cuenta de la interacción energética (salvo que dependa del tiempo) del sistema en cuestión. La solución de la ecuación de Schrödinger permite escribir el comportamiento dinámico del sistema sometido a ciertas restricciones. Sin embargo, la solución analítica de esta ecuación es viable solo en sistemas simples, cuando el sistema se describe desde la interacción de muchas partículas (problema electrónico-base de la construcción de sistemas cuánticos complejos aplicable a la descripción de moléculas, sólidos y sistemas cuánticos interactuantes en general.) la solución de la ecuación de Schrödinger del sistema no se puede realizar vía método analítico; con lo cual existe una forma más global de enfrentar dicho problema, el método auto consistente; mediante el cual se puede solucionar sistemas complejos de muchos cuerpos. Es así que en el presente paper presentamos una comparación entre el sistema auto consistente y algunas variantes que existen, con el método analítico en sistemas de muchos cuerpos y como opera dicho método, esto aplicado a un problema de dos cuerpos con interacción Coulombiana, ya que este problema presenta solución analítica y ha sido extensamente estudiado; esto con la finalidad de que los estudiantes interesados en la materia comprendan como se abordan problemas vía métodos auto consistentes y como opera este método, ya que en la literatura pocas veces se presenta el algoritmo de solución mediante este método.

Palabras clave: Mecánica Cuántica, Método Auto-Consistente, problema de dos cuerpos.

Abstract

The general problem in quantum mechanics is based on the solution of an equation in eigenvalues of a given operator (in a suitable representation), generally said operator is the Hamiltonian that accounts for the energy interaction (unless it depends on the time) of the system in question. The solution of the Schrodinger equation allows writing the dynamic behavior of the system subject to certain restrictions. however, the analytical solution of this equation is feasible only in simple systems, when the system is described from the interaction of many particles (electronic problem- basis of the construction of complex quantum systems applicable to the description of molecules, solids and interacting quantum systems in general.), the solution of the Schrödinger equation of the system can´t be performed via analytical method; with which there is a more global way of facing this problem, the self-consistent method; through which complex systems of many bodies can be solved. thus, in the present paper we present a comparison between the self-consistent system and some variants that exist, with the analytical method in systems of many bodies and how this method operates, this applied to a problem of two bodies with Coulombian interaction, since this problem presents an analytical solution and has been extensively studied; this in order that students interested in the subject understand how problems are addressed through self-consistent methods and how this method operates, since in the literature rarely the solution algorithm is presented by this method.

Keywords: Quantum mechanics, Self Consistent Field, Two body problem.

Resumo

O problema geral em mecânica quântica está baseado na solução de uma equação em valores próprios de um operador determinado (numa representação adequada), geralmente dito operador é o Hamiltoniano que dá conta da interação energética (a menos que dependa do tempo) do sistema em questão. A solução da equação de Schroedinger permite escrever o comportamento dinâmico do sistema sometido a certas restrições. No entanto, a solução analítica desta equação é viável só em sistemas simples, quando o sistema se descreve desde a interação de muitas partículas (problema electrónico-base da construção de sistemas quânticos complexos aplicável à descrição de moléculas, sólidos e sistemas quânticos que geralmente interagem) a solução da equação de Schroedinger do sistema não pode realizar-se via método analítico; com o qual existe uma forma mais global de enfrentar dito problema, o método auto consistente; através do qual se pode solucionar sistemas complexos de muitos corpos. Neste estudo, apresentamos uma comparação entre o sistema auto consistente e algumas variantes que existem, com o método analítico em sistemas de muitos corpos e como é a operação de dito método, isto aplicado a um problema de dois corpos com interação Coulombiana, já que este problema apresenta solução analítica e tem sido extensamente estudado; isto com a finalidade de que os alunos interessados na disciplina compreendam como se abordam problemas via métodos auto consistentes e a operação deste método, já que na literatura poucas vezes se apresenta o algoritmo de solução através deste método.

Palavras-chave: Mecânica quântica, método auto consistente, problema de dois corpos.